浅谈命题的否定及其应用
简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.
一、常见语句的否定
①联言命题“1p 且2p 且…且n p ”的否定是“1p 或2p 或…或n p ”.
②选言命题“1p 或2p 或…或n p ”的否定是“1p 且2p 且…且n p ”
③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是”
④“至少有一个(n 个)” 的否定是“一个也没有(至多有n -1个)”
⑤“至多有一个(n 个)” 的否定是“至少有两个(至少有n +1个)”
⑥ “对任意x ∈A ,使P (x )成立”的否定是“存在x ∈A ,使P (x )不成立”
⑦“存在x ∈A ,使P (x )成立” 的否定是“对任意x ∈A ,使P (x )不成立”
二、常见否定命题的应用
例1． 写出下列命题的否命题
(1)有些三角形是直角三角形;
(2)所有的质数都是奇数 .
分析:(1) 学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.
(2) 学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.
例2．若()22
f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a 的取值范围.
解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22
f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .
∴有()()
1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩
解之得11a a ≥≤-或. 故实数a
的取值范围为()
1a ∈- .
注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.
例3.设数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列, n n n c a b =+ .
证明:数列{}n c 不是等比数列.
分析:以下是一部份学生的解法,
设数列{}n a 、{}n b 是公比分别为p 、q ，p ≠q ，则
()()2
2211222222111111112n n n n n n n n n c a b a p b q a p b q a b p q ------=+=+=++ 而 ()()22111111n n n n n n c c a p b q a p b q ---+=++
()222222222222111111n n n n n n a p a p b q a p a b p q p q ------=+++++
∵p ≠q 22112,0p q pq a b +>≠ ∴211n n n c c c -+≠
故数列{}n c 不是等比数列.
评析:“ {}n c 是等比数列”的含义是数列{}n c 中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称{}n c 是等比数列.要证明数列{}n c 不是等比数列,只需破坏命题中
的 “都是”即可.即需证明存在连续三项11,,n n n c c c -+使211n n n c c c -+≠ .为此只需首先验证
2213c c c ≠,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解 .
例4. 有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是23、12、25
，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率. 解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件， 故所求概率为21219111113251010
p ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=----=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 例5.已知: A ={}2|(2)240,x x a x a x R ---+=∈,
B={}22|(23)230,x x a x a a x R +-+--=∈,若A
B ≠∅,求实数a 的取值范围. 分析:由题意, A B ≠∅即两个方程2(2)240x a x a ---+=,与22(23)230x a x a a +-+--=中,至少有一个方程有实数解.设全集为I=R,所求实数a 的集合为A ,则使上述两个方程均设无实数解的实数a 的集合为I ()A B .
由2(2)240x a x a ---+=，得()2
2124(24)412a a a a ∆=---+=+- 由22(23)230x a x a a +-+--=,得()2
222234(23)4821a a a a a ∆=----=--+ ∴22412048210
a a a a ⎧+-<⎪⎨--+<⎪⎩解得:762a -<<-或322a << . 即当762a -<<-或322a <<时,A B ≠∅. ∴所以所求A B ≠∅的a 的取值范围是(][)73,6,2,22⎡⎤-∞-⋃-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
. 规律概括:由于I I ,
,A A I A A ⋃=⋂=∅以及()I I A A =,因此在分析集合A 的性质时,也可以通过分析
I A 的性质即通过间接法来实现对问题的解决,这也反映了否命题应
用的基本思想实质.。