高中数学：命题及其关系、充分条件与必要条件练习
(时间:30分钟)
1.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( D )
(A)若方程x2+x-m=0有实根，则m>0
(B)若方程x2+x-m=0有实根，则m≤0
(C)若方程x2+x-m=0没有实根，则m>0
(D)若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0
解析:根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0”.
2.(河南八市联考)命题“若a>b，则a+c>b+c”的否命题是( A )
(A)若a≤b，则a+c≤b+c
(B)若a+c≤b+c，则a≤b
(C)若a+c>b+c，则a>b
(D)若a>b，则a+c≤b+c
解析:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”.
3.(山东省日照市模拟)命题p:sin 2x=1，命题q:tan x=1，则p是q的( C )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由sin 2x=1，得2x=+2kπ，k∈Z，
则x=+kπ，k∈Z，
由tan x=1，得x=+kπ，k∈Z，
所以p是q的充要条件.故选C.
4.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交;反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.
因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
5.(云南玉溪模拟)设a>0且a≠1，则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:若函数f(x)=a x在R上是减函数，则a∈(0，1)，
若函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数，则a∈(0，2).
则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.
6.(江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( B )
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:若x=0，则f(0)=e0=1;若f(x)=1，则e x=1或ln(-x)=1，解得x=0或x=-e.
故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.故选B.
7.(北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为.
解析:只要保证a为正b为负即可满足要求.
当a>0>b时，>0>.
答案:1，-1(答案不唯一)
8.有下列几个命题:
①“若a>b，则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4，
则-2<x<2”的逆否命题.
其中真命题的序号是.
解析:①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”，正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2，则x2≥4”，正确.
答案:②③
9.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是
.
解析:直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<，解之得-1<k<3.
答案:-1<k<3
能力提升(时间:15分钟)
10.(天津卷)设x∈R，则“|x-|<”是“x3<1”的( A )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由“|x-|<”等价于0<x<1，而x3<1，即x<1，所以“|x-|<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.
11.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是( A )
(A)[1，+∞) (B)(-∞，1]
(C)[-1，+∞) (D)(-∞，-3]
解析:由x2+2x-3>0，得x<-3或x>1，由﹁q的一个充分不必要条件是
﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
x-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件12.函数f(x)=log
a
是 .
x-x+2(a>0，且a≠1)有两个零点，
解析:若函数f(x)=log
a
x的图象与直线y=x-2有两个交点，结合图象易知，此时a>1.
即函数y=log
a
可以检验，当a>1时，函数f(x)=log
a
x-x+2(a>0，且a≠1)有两个零点，
所以函数f(x)=log
a
x-x+2(a>0，且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是a>1.
答案:a>1
13.(湖南十校联考)已知数列{a
n }的前n项和S
n
=Aq n+B(q≠0)，则“A=-B”是“数列{a
n
}为等比
数列”的条件.
解析:若A=B=0，则S
n =0，数列{a
n
}不是等比数列.
如果{a
n }是等比数列，由a
1
=S
1
=Aq+B得
a 2=S
2
-a
1
=Aq2-Aq，a
3
=S
3
-S
2
=Aq3-Aq2，
由a
1a
3
=，从而可得A=-B，
故“A=-B”是“数列{a
n
}为等比数列”的必要不充分条件.
答案:必要不充分
14.(山西五校联考)已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.
解析:p对应的集合A={x|x<m或x>m+3}，
q对应的集合B={x|-4<x<1}.
由p是q的必要不充分条件可知B A，
所以m≥1或m+3≤-4，即m≥1或m≤-7.
答案:(-∞，-7]∪[1，+∞)。