D
= 4∫∫ dxdy
D1
∫ ∫ = 4
π
6 dθ
a
2cos 2θ
rdr
0
a
= a2 ( 3 − π). 3
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
15
分
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
∫ ∫ D
=
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
∫ ∫ 2、将积分
2
dx
3x f ( x2 + y2 )dy 化为极坐标形式的
0
x
二次积分为_________________________________.
二、试将对极坐标的二次积分
π
2a cos θ
∫ ∫ I =
4 −π
dθ
0
f (r cos θ, r sin θ)rdr
4
交换积分次序.
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R 2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0} 显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
∵ e− x2 − y2 > 0,
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∴ e−x2− y2dxdy < e− x2 − y2 dxdy < e− x2 − y2 dxdy.
D1
S
D2
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二重积分的计算法(21)
9
分
∫∫ 又∵ I = e−x2− y2 dxdy
分
二重积分的计算法(21)
7
∫∫ 例 2 计算 e−x2− y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：0 ≤ r ≤ a ，0 ≤ θ ≤ 2π.
∫∫ ∫ ∫ e−x2− y2dxdy =
2π
dθ
a e −r2 rdr
D
0
0
= π(1 − e−a2 ).
a cosθ
∫ ∫ I =
2 −π
dθ
0
f (r, θ)dr
2
(a ≥ 0).
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二重积分的计算法(21)
17
分
思考题解答
D
:
⎪⎧ ⎨
−π ≤θ≤ π
2
2
,
⎪⎩0 ≤ r ≤ a cos θ
y
θ = arccos r
a
r = acosθ
D
o
ax
∫ ∫ I =
a
dr
0
arccos r a
二重积分的计算法(21)
12
分
∫∫ 例 5 计算二重积分 sin(π x2 + y2 ) dxdy,
D
x2 + y2
其中积分区域为D = {( x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D = 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
∫∫ ∫∫ sin(π x2 + y2 ) dxdy = 4 sin(π x2 + y2 ) dxdy
0
4
∫ 所求广义积分 ∞ e− x2 dx = π .
0
2
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二重积分的计算法(21)
11
分
例 4 计算∫∫ ( x2 + y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 + y2 = 2 y， x2 + y2 = 4 y及直线x − 3y = 0，
y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
4
∫ ∫ 2a
arccos r
+
rdr
2a
2a −arccos r
f (r cos θ, r sin θ)dθ.
2a
三、1、 2 − π ；2、 1 (π − 4 ) ；3、5 π.
2
33
2
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二重积分的计算法(21)
21
分
作业: P155 T13奇 T14奇
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二重积分的计算法(21)
8
分
∫ 例 3 求广义积分 ∞ e−x2dx. 0
解 D1 = {( x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }
D2 = {( x, y) | x2 + y2 ≤ 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
D
∫ ∫ =
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
α
ϕ1 (θ )
2010年5月21日11时28 分
二重积分的计算法(21)
r = ϕ2(θ)
A
3
区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
r =ϕ1(θ)
D
ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ ).
β
o
α
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
解
y−
3x
=
0⇒
θ2
=
π
3
x2 + y2 = 4 y⇒ r = 4sinθ
x−
3y
=
0
⇒ θ1
=
π
6
x2 + y2 = 2 y ⇒ r = 2sinθ
∫∫ ∫ ∫ ( x2 + y2 )dxdy =
π
3 dθ
r 4sinθ 2 ⋅ rdr = 15( π −
3).
D
π 6
2sin θ
2
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S
∫ ∫ ∫ = R e− x2dx R e− y2dy = ( R e− x2dx)2;
0
0
0
∫∫ I1 = e− x2− y2dxdy
D1
∫ ∫ =
π
dθ
R e −r2 rdr
= π (1 − e−R2 );
0
0
4
∫∫ 同理I2 =
e − x2− y2 dxdy = π (1 − e−2R2 ).
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22
分
D
x2 + y2
D1
x2 + y2
∫ ∫ = 4
π
2 dθ
2 sin πr rdr = −4.
0 1r
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二重积分的计算法(21)
13
分
例 6 求曲线 ( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) 和 x2 + y2 ≥ a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D = 4D1
⎧α
ϕ1 (θ )
⎪
∫ ∫ ⎨
=
⎪⎩ =
β
ϕ (θ )
dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
α
0
2π
ϕ (θ )
dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
∫ ∫ 0
0
（在积分中注意使用对称性）
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二重积分的计算法(21)
16
分
思考题
交换积分次序:
π
D
2π
ϕ (θ )
∫ ∫ = dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
0
0
∫∫ 极坐标系下区域的面积 σ = rdrdθ .
D
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二重积分的计算法(21)
6
分
例 1 写出积分∫∫ f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {(x, y) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
A
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D
D
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二重积分的计算法(21)
2
分
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r = ϕ1(θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ ).
βα o
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
一、利用极坐标系计算二重积分
∆σ i
=
1 2
(
ri
+
∆ri )2
⋅ ∆θi
−
1 2
ri
2
⋅ ∆θi
=
1 2 (2ri
+
∆ri
)∆ri
⋅
∆θ i
r = ri + ∆ri r = ri
=
ri
+
(ri + 2
∆ri
) ∆ri
⋅
∆θ i
D
= ri ⋅ ∆ri ⋅ ∆θi ,
o
θ = θi + ∆θi ∆σ i θ =θi
D
∫ ∫ =
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ , r sinθ )rdr.
α
ϕ1 (θ )
2010年5月21日11时28 分
二重积分的计算法(21)
r =ϕ2(θ)
A
4
二重积分化为二次积分的公式（２）