初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

解：【第一问】因为抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．将x=5，y=0 代入y=2x²+mx+n，得：0=50+5m+n-------------------①将x=2，y= -6代入y=2x²+mx+n，得：-6=8+2m+n--------------------②此时，由①、②，得：m= -12，n=10所以，抛物线的表达式：y=2x²-12x+10再将抛物线表达式进行变形：y=2x²-12x+10y=2（x²-6x+9）-8y=2（x-3）²-8所以，抛物线的对称轴是x=3【第二问】因为B点坐标为（2，-6），C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b因为过A（5，0），C（-2，6），将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b---------③将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-------④由③④解得：k= - 67，b=307所以，过A、C两点的直线表达式为：y= - 67x+3073、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标解：【第一问】因为抛物线的顶点C为（2，4），所以，对称轴是：x=2又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，那么，对称轴x=2将6平分，也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3 所以，A的横坐标：2-3 = -1B的横坐标：2+3 = 5故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）【第二问】因为抛物线的顶点C为（2，4），那么，抛物线的表达式直接可设为：y=a（x-2）²+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将A（-1,0）代入y=a（x-2）²+4，得，0=a（-1-2）²+4解得：a= - 4 9所以，抛物线的表达式为，y= - 49（x-2）²+4【第二问】令x=0，代入y= - 49（x-2）²+4 ，得y= -49（0-2）²+4y=209所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0，20 9）4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式解：【第一问】直线的解析式为y=2x+4令x=0，代入y=2x+4，得，y=4，所以B点坐标（0, 4）令y=0，代入y=2x+4，得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）设C点的纵坐标为y c（y c是负数），那么线段BC的长度│BC│= 4 -yc△ABC的面积=12*│x A│*│BC│=12*│-2│* (4 -yc )=204 -yc =20解得：yc = -16所以，C点坐标（0，-16）---------------------------------①以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2）²+0y= a（x+2）²，它过点C（0，-16），将x=0,y= -16代入y= a（x+2）²，解得：a= -4所以，抛物线表达式y= -4（x+2）²【第二问】设D点的横坐标为x D（x D是负数），△BDO的面积= 12*│x D│*│BO│=12*│x D│*4=8│x D│=4x D是负数,所以，x D= -4，又D点在直线y=2x+4上，将x D= -4 代入y=2x+4，解得y D= -4D点坐标（-4, -4）-------------------------------------------②以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2）²它过点D（-4，-4）将x= -4,y= -4代入y= a（x+2）²，解得：a= -1所以，抛物线表达式y= -（x+2）²【第二组题型】5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。

7、已知抛物线y= 34x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。

（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。

8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。

【答案】5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）解：方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根则判别式△=（2m）²- 4*（m²+3m﹣2）≥0即：m≤23------------------------------------------------①根据韦达定理，x1+x2 = -2m-------------------------②x1x2 =m²+3m﹣2-----------------③又x1（x2+x1）+x2²= x1x2 +x1²+x2²=（x2+x1）²- x1x2 【将②③代入】=（-2m）²-（m²+3m﹣2）=3m²- 3m+2=3（m- 12）²+54则顶点（12，54）其图像为由①知，当m≤23时，已经把顶点包含在内，故，当m=12时，有最小值是546、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。

解：【第一问】（12，54）因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a（x+5）（x-3）y=a（x²+2x-15）y=ax²+2ax-15a-----------①又已知，抛物线y=ax²+bx-30------------②根据恒等原理，①式与②式对应的系数相等。

那么它们的常数项相等，即：-15a = -30解得：a=2将a=2 代入①式，解得抛物线解析式为：y=2x²+4x-30 再对y=2x²+4x-30变形即：y=2（x²+2x）-30y=2（x+1）²-32所以，顶点C坐标（-1,-32）答：抛物线解析式为：y=2x²+4x-30，顶点C坐标（-1,-32）【第二问】四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP∥AC，一是AP∥CB （1）当BP∥AC，因为A（-5，0），C（-1，-32）直线AC的斜率k1=0-（-32）-5-（-1）= -8 ----------------③因为B（3，0），P（m，n）直线PB说完斜率k2= 0- n3- m=nm -3----------------④因为BP∥AC 所以③=④即-8 =n m -3化简：n = 24 -8m-----------------------------------------⑤因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=2m²+4m-30---------------------------------------⑥因为⑤=⑥，消去n，得：24 -8m=2m²+4m-30化简：m²+6m-27=0（m+9）（m-3）=0解得：m= -9，m=3将m= -9代入⑤中，解得，n=96，则P坐标（-9，96）将m=3代入⑤中，解得，n=0，则P坐标（3，0）与B（3,0）重合，舍去故：当BP∥AC时，P坐标为（-9，96）（2）AP∥CB同理：直线BC的斜率k3=8直线AP的斜率k4=n m+5由K3=k4，得8=nm+5即：n=8m+40----------⑦因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=2m²+4m-30--------------------------------------⑧由⑦=⑧解得，m=7，m=-5将m=7，m=-5代入⑦，解得n=106，n=0即P坐标（7，106），或p（-5，0）与A（-5，0）重合，舍去故：当AP∥CB时，P坐标为（7，106）7、已知抛物线y= 34x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。