(1
i
)(1 i )
4 i 1
i xi
4
ii xi
4
4 i xi
i1
4
ii xi
4
4
i 1
i yi
4
ii
4
yi
4 i yi
i1 4
ii yi
4
4 i 1
i xi
4
ii xi
4
4 i xi
i1
4
ii xi
4
4
i 1
i yi
4
ii
4
yi
4 i yi
i1 4
这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数(7-1)可以表示为
4
u Ni ( ,)ui i 1
4
v Ni ( ,)vi i 1
从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单 元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换 相容性的要求。
采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的 要求，即
N1 y
v1
N2 y
v2
N3 y
v3
N4 y
v4
N1
y
u1
N2 y
u2
N3 y
u3
N4 y
u4
N1 x
v1
N2 x
v2
N3 x
v3
N4 x
v4
u1
N1
x
0
0
N1 y
N2 x
0
0
N2 y
N3 x
0
0
N3 y
N4 x
0
0
N4 y
v1
uuv223
N1 y
N1 x
N1
0
N2
0
N3
0
N4
0
x
x
x
x
[B] 0
N1 y
0
N2 y
0
N3 y
0
N4 y
N1 y
N1 x
N2 y
N2 x
N3 y
N3 x
N4 y
N4 x
三、能进行等参数变换的条件
x
4 i 1
Ni ( ,)xi
4
y
i 1
Ni ( ,) yi
只要给定整体坐标系内四个节点的坐标 (xi , yi ) i 1, 2,3, 4
{ (x,
y)}
x y
xy
u
x
v y
u y
v x
y
4 i 1
x
4 i 1
Ni ( ,)ui
y
4 i 1
Ni ( ,)vi
Ni ( ,)ui
x
4 i 1
Ni
(
,
)vi
N1 x
u1
N2 x
u2
N3 x
u3
N4 x
u4
4
y
i 1
Ni ( ,) yi
根据复合函数求导法则，有
x
x
y
y
x
y
x y
为写成矩阵形式，记变换矩阵(雅可比矩阵)为
x y
[J
]
(x, y)
( ,)
x
y
x
[J
]
x
x
x y Biblioteka yx y
y
2. 利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。
母单元的正交坐标轴 ( ,) 影射到子单元上，得到一个斜角坐标轴，仍记为
( ,) 现在子单元有两种坐标，一个是整体坐标 (x, y)
令一个是固定于单元的局部坐标 ( ,)
当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单 元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建 立母单元的形状函数。
xOy 平面为整体坐标系，它适用于所有单元，
O 坐标为局部坐标系，它只适用于每个要变换的单元。
在每个单元上考察整体坐标 (x, y) 到局部坐标 ( ,) 之间是否满足上述要求
的变换(相容性)。
首先看一下局部坐标系下的位移插值函数、形状函数和收敛性条件，再讨 论具体的坐标变化。
u 1 2 3 4
就可以写出坐标变换式。
为保证此变换式在单元上能确定整体坐标与局部坐标间的一一 对应关系，使等参数变换能真正进行，必须使变换行列式(雅可比行 列式)在整个单元上均不等于零。因为
微分变换式 dxdy | J | dd | J | 不能为零。
| J | 0 是雅可比矩阵的逆矩阵存在的必要条件；
x
[
J
]
ii yi
4
A
1 4
4 i 1
ii xi
B
1 4
4 i 1
ii yi
a1
1 4
4
i xi
i 1
a2
1 4
4
i yi
i 1
a3
1 4
4
i xi
i 1
a4
1 4
4
i yi
i 1
[
J
]
a1 a3
A A
a2 B
a4
B
4 i 1
i xi
4
ii xi
4
4 i xi
i1
4
v 5 6 7 8
N1
N1( ,)
1 4
(1
)(1)
N2
N2 ( ,)
1 4
(1 )(1)
N3
N3 (
,)
1 4
(1
)(1)
N4
N4 ( ,)
1 4
(1 )(1)
Ni
( ,)
1 4
(1
i
)(1 i )
(1,1) (1, 1) (2,2 ) (1, 1)
(3,3 ) (1,1) (4,4 ) (1,1)
y
3
d 1 2 x 3 y 4 xy
4
y kx b,(k 0)
1
2
d Ax2 Bx C
x
第二节 四节点四边形等参数单元
我们知道，矩形单元是满足解的收敛性条件的。如果通过一个坐标 变换将任意四边形单元变换成矩形单元，只要坐标变换中任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的(坐标变换的相容性)，而变换后的位移 插值函数又是满足解的收敛性条件的，这两条合在一起就能保证任意四边 形在原坐标系中满足收敛性条件。
y 4
2 1
1 1
x
4 (1,1)
(1, 1) 1
3 (1,1)
p( , )
(1, 1) 2
子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移 是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因 此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。
位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们 用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状 函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元 为等参数单元。
{Fe} [B]T [D][B]dV{d e}
{Fe} [ [B]T [D][B]tdxdy{d e} [K e]{d e}
[Ke ] [B]T [D][B]tdxdy
[B] 矩阵由式(7-5)给出，积分区域为任意四边形单元内区域。
u1
N1
x
0
0
N1 y
N2 x
0
0
N2 y
x
y
4 i 1
Ni (
,
)
xi
y
4 i 1
Ni ( ,
)
xi
4
i 1
Ni (
,
)
yi
4
i 1
Ni (
,
)
yi
4 i 1
i
4
(1 i )xi
4 i 1
i
4
(1 i )xi
4
i 1
i
4
(1 i ) yi
4
i 1
i
4
(1 i )yi
Ni
( ,)
1 4
第三节 等参数单元平面问题的有限元格式
前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出 单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数 单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论 单元刚度矩阵的形成。
一、等参数单元刚度矩阵
第四步 单元应变-单元位移-节点位移之间的关系
N3 x
0
0
N3 y
N4 x
0
0
N4 y
v1
uuv223
N1 y
N1 x
N2 y
N2 x
N3 y
N3 x
N4 y
N4 x
v3
u4
v4
[B1
B2
B3
B4
]
{{{ddd132eee
} } }
[
B]{d
e
}
{d4e}
二、等参数坐标变换
x
4 i 1
Ni ( ,)xi
第七章 等参数单元
三节点三角形单元具有如下特点：
1. 位移插值函数为线性函数，因此称为三角形线性元。
2. 线性单元的位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量。
3. 应力和应变在求解区域内都不是连续的。
为提高计算精度，实际分析时可以采取的方法：
1. 单元分细；
2. 构造高精度新单元。
将单元分细可提高计算精度，因为有限元法的计算基础就是当单元无限 分细时计算结果将收敛于精确解。但是单元分细会增加单元数目和节点数 目，从而增加所要求解的方程组，占用和耗费大量的计算机资源。所以， 用细分单元的方法来提高精度有时是不经济的。