( m ! )( n ! ) ( m n 1)!
可以直接应用

x2
x1
dx ( x 2 x1 )
m 1 n 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
k 22 EA l
2
●二次杆单元

2
l
0
( 4 2 1) dx
2
EA 3l
7 EA 3l EA 3l 1
y Qy1 1 Mz1 z l MZ2 Qy2 2 x
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
Hermite位移插值多项式
v ( x ) (1 2
x0 0l
)(
xl 0l
2
) v1 (1 2
2
xl l0
2
)(
x0 l0
) v2
2
( x 0 )( N 1
1 1 ; 2
F i(1) (3) l F ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
l
●二次杆单元
l
( x )( x l ) ( x 0 )( x ) 2 2 u ( x 0 )( x l ) u u(x) u1 2 3 l l l l ( )( l ) l( ) ( )( ) 2 2 2 2
e T l
k B D B dV
代入，得
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
Al B
T
D B
1 1
EA 1 l 1
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
●一次杆单元
N1 1 ; N 2
得 N 1 1 ; N 2 2
u ( x ) 1 u1 2 u 2
dN u1 d u 2
2
1 dN 1 dx d dx l d l d
6 EJ l
2
z
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k 13

l
EJ
36
z
0
l
4
( 2 1)( 1 2 ) dx
k 33
EA l
2
l
0
( 4 1 4 2 ) dx
2 l
16
k 12
EA l

0
( 4 2 1)( 4 2 1)dx
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
元素的计算
k 13 EA l
2
●二次杆单元

l
0
( 4 1 1)( 4 1 4 2 )dx
d v dx
d 2N1 y 2 dx
2 2
d N2 dx
2
2
d N3 dx
2
2
B
e

N 2 N 3
v1 2 1 d N4 2 v2 dx 2
其中
B y N 1
6 l l 6 l 2 l
2 2
2 l2 1 ) (1 2 2 )
2
( 2 2 1 )
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单元应力为 单元刚度矩阵
E
D
E
k B D B dV
e T V

2.三次梁单元
元素的计算
k 22
l

l
EJ
4
z
0
l
2
( 3 2 ) dx
2
4 EJ l
z
k 33
EJ
36
z
0
l
4
(1 2 ) dx
2
12 EJ l
3
z
k 44
l

l
EJ
4
z
0
l
2
( 3 1) dx
2
4 EJ l
z
k 12

EJ
12
z
0
l
3
( 2 1)( 3 2 ) dx
●二次杆单元
u(x)
所以单元内点位移为
N 1
N2
u1 N 3 u 2 u 3
2

e
几何矩阵为
B ( 4 1 1)
l
1
( 4 2 1)
( 4 1 4 2 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应力为 单元刚度矩阵
k
e
GJ l

1 1
1 1
Mn i(1) l Mn ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j, 三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0 x xi 1 x x j
12 6l 12 6l 6l 4l
2
12 6l 12 6l
k
e
EJ l
3
z
6l 2l
2
6l 2 2l 6l 2 4l
元素的计算
k 11

l
EJ
36
z
0
l
4
( 2 1) dx
2
12 EJ l
3
z
二、一维单元及其单元刚度阵
令
N 1 ( 2 1)( 1) 2 1 1
2
N 2 2
2
2 2
2 2
N 3 4 (1 ) 4 1 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
单元应变
1 dN 1 l d dN d u1 dN 1 u 2 B d u3
F i(1) l F ξ j(2) x
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 ●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
●二次杆单元
E
D
E
k A B
e l
T
元素的计算
k 11 EA l
2 l
7 EA D B dx 1 3l 8
1) dx
2
1 7 8
8 8 16
( 4
0
EA 3l
1
7
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数 2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 2.三次梁单元 三、二维单元及其单元刚度阵 1.三角形单元 2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元 3.曲线等参元 2.四面体单元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
l
( B D B dA )dx
l T 0 A 2
引入
Jz


0 l
( E y
A
N T N dA )dx

A
y dA
2

EJ
0
N T N dx z
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单 元 刚 度 矩 阵
l (1 )
2( x l) x 2 1 ( l ) ( 3 2 ) l x l )
2
N 4 ( x l )(
l ( 1)
2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）
y
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。 ●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。 二维单元的帕斯卡三角形
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
~ u (x)

m
N i ( x)qi
i 1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。