第1节 常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b a}．Δ>0 Δ＝0 Δ<0x 的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0；(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>11．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 3．(2013·高考卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 5．解下列不等式214x +≥1213x <-<6．解下列方程组213211x y x y +=⎧⎨-=⎩2214x y x y +=⎧⎨+=⎩22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩第2节 高考数学中的运算——对数运算对数的概念 (1)对数的定义：如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．②log a a ＝1，m a ma =log③对数恒等式：alog aN＝N ．④换底公式：log a b ＝log c b log c a ， 推广log a b ＝1log b alog a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n＝n mlog a M=1．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+-(2)3lglg 70lg 37+-(3) 2lg 2lg5lg 201+⋅-(4) 25941log log 27log 123235-+2（15．）计算：22log 2=________，24log 3log 32+=________．若，则________．3．方程log (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log [log (log 81)]＝_________．4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅， ②22log ()2(log log )a a a x y x y -=-③1log log log 2aa a x x y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅第3节 高考数学中的运算——三角计算一．任意角 1．角的概念角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr． 扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算 (1)角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝πrad≈0．01745 rad 1 rad ＝(180)°≈57．30°三．任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝22y x y +，余弦值cos α＝22y x x + ，正切值tan α＝xy，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）2．三角函数值的符号例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．(1)α＝－π3； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．2．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A ． 3B ．± 3C ．－ 3D ．－ 23．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．5．(2011·高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系式子成立，如sin 22α＋cos 22α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2α＋cos 2α＝1⇔sin 2α＝1－cos 2α⇔cos 2α＝1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇔sin α＝tanα·cos α．例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α3sin α＋5cos α的值．例2．(1)已知sin α－cos α＝12，求sin αcos α的值．(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102求tan 2α．(4)已知3tan sin 2=⋅αα，求αα44cos sin +的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ， cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝[k ∈Z]．(2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ．(3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ．(4)公式四：sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ ．(5)公式五：sin(π2－α)＝ ， cos(π2－α)＝ ， tan(π2－α)＝ ．(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π2－α)＝ ． 口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f (α)＝cos π2＋α·cos 2π－α·sin －α＋3π2sin －π－α·sin 3π2＋α．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A ．223B ．－233C ．13D ．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(ππ-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3tan(__)3tan(ππ-=-x x 第4节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．2．三角形面积公式设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsinB （一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出角的关系，从而判断出三角形的形状。