第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真：（1）∅∅真⊆（2）∅∅假∈（3）}∅真{∅⊆（4）}∈∅真{∅（5）｛a,b｝⊆｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真（6）｛a,b｝∈｛a,b,c,｛a,b｝｝真（7）｛a,b｝⊆｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真（8）｛a,b｝∈｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:（1）｛｛a,b｝，c,∅｝=｛｛a,b｝,c｝假（2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝真（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假（4）｛∅，｛∅｝，a,b｝=｛｛∅,｛∅｝｝,a,b｝假8．求下列集合的幂集：（1）｛a,b,c｝P(A)={ ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }（3）｛∅｝P(A)={ ∅, ｛∅｝}（4）｛∅，｛∅｝｝P(A)={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }14．化简下列集合表达式：（1）（A Y B）I B ）-（A Y B）（2）（（A Y B Y C）-（B Y C））Y A解:(1)（A Y B）I B ）-（A Y B）=（A Y B）I B ）I～（A Y B）=（A Y B）I～（A Y B）)I B=∅I B=∅（2）（（A Y B Y C）-（B Y C））Y A=（（A Y B Y C）I～（B Y C））Y A=（A I～（B Y C））Y（（B Y C ）I～（B Y C））Y A=（A I～（B Y C））Y∅Y A=（A I～（B Y C））Y A=A18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

求不会打球的人数。

解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人}|A|=14, |B|=12, |A I B|=6,|A I C|=5,| A I B I C|=2, |C|=6,C⊆A Y B 如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{∅}},计算下列表达式：（1）Y A（2）I A（3）I Y A（4）YI A解:（1）Y A={1，2}Y{2，3}Y{1，3}Y{∅}={1，2，3,∅}（2）I A={1，2}I{2，3}I{1，3}I{∅}=∅（3）I Y A=1I2I3I∅=∅（4）YI A=∅27、设A,B,C是任意集合，证明(1)(A-B)-C=A- B⋃C(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明(1) (A-B)-C=(A I～B) I～C= A I( ～B I～C)= A I～(B⋃C) =A- B⋃C(2) (A-C)-(B-C)=(A I～C) I～(B I～C)= (A I～C) I(～B Y C)=(A I～C I～B) Y(A I～C I C)= (A I～C I～B) Y∅= A I～(B⋃C) =A- B⋃C 由（1）得证。

第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A.解：I A ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}E A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}D A={<2,4>}13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A⋃B,A⋂B, domA, domB, dom(A⋃B), ranA, ranB, ran(A⋂B ), fld(A-B).解：A⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}A ⋂B={<2,4>}domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ⋂B)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R οR, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：R οR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{2,,,,,,,R a d b c d c b=求23122112,,,R R R R R R o o 。

解: R 1οR 2={<a,d>,<a,c>,<a,d>} R 2οR 1={<c,d>}R 12=R 1οR 1={<a,a>,<a,b>,<a,d>} R 22=R 2οR 2={<b,b>,<c,c>,<c,d>} R 23=R 2οR 22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}36．设A={1，2，3，4}，在A ⨯A 上定义二元关系R ， ∀<u,v>,<x,y>∈A ⨯A ，〈u,v> R <x,y>⇔u + y = x + v. (1) 证明R 是A ⨯A 上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A ⨯A 的划分. （1）证明：∵<u,v>R<x,y> ⇔u+y=x-y∴<u,v>R<x,y>⇔u-v=x-y∀<u,v>∈A ⨯A ∵u-v=u-v∴<u,v>R<u,v>∴R是自反的任意的<u,v>,<x,y>∈A×A如果<u,v>R<x,y> ，那么u-v=x-y∴x-y=u-v ∴<x,y>R<u,v>∴R是对称的任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>∈A×A若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>则u-v=x-y,x-y=a-b∴u-v=a-b ∴<u,v>R<a,b>∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>},{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }41.设A={1，2，3，4}，R为A⨯A上的二元关系, ∀〈a，b〉，〈c，d〉∈A⨯A ,〈a，b〉R〈c，d〉⇔a + b = c + d(1)证明R为等价关系.(2)求R导出的划分.(1)证明：∀<a，b〉∈A⨯Aa+b=a+b∴<a,b>R<a,b>∴R是自反的任意的<a,b>,<c,d>∈A×A设<a,b>R<c,d>，则a+b=c+d∴c+d=a+b ∴<c,d>R<a,b>∴R是对称的任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>∈A×A若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>则a+b=c+d,c+d=x+y∴a+b=x+y ∴<a,b>R<x,y>∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>},{<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:(1) {1,2,3,4,6,8,12,24} (2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}解:23468111(1) (2)45.下图是两个偏序集<A,R p >的哈斯图.分别写出集合A 和偏序关系R p 的集合表达式.dgabf g(a) (b)解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}R p ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>}A I ⋃(b) A={a,b,c,d,e,f,g}R p ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>}A I ⋃46.分别画出下列各偏序集<A,R p >的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元. (1)A={a,b,c,d,e}R p ={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}⋃I A . (2)A={a,b,c,d,e}, R p ={<c,d>}⋃IA.解:ab deabcde(1) (2)项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无第八章部分课后习题参考答案1． 设f :N →N,且f (x)=12x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数，求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},f ({0,2,4,6,…})=N ，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的哪些是单射的哪些是双射的 (1) f:N →N, f(x)=x 2+2 不是满射，不是单射(2) f:N →N,f(x)=(x)mod 3,x 除以3的余数 不是满射，不是单射(3) f:N →N,f(x)=10x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数 不是满射，不是单射(4) f:N →{0,1},f(x)=01x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数 是满射，不是单射(5) f:N-{0}→R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R →R,f(x)=x 2-2x-15 不是满射，不是单射5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假: (1)f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对 (2)f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错(4)f是从X到Y的双射. 错。