如何训练逆向思维能力
在教学实践中，我们体会到，学生往往正向思维较为活跃，而逆向思维相对薄弱，任其发展，久之会形成思维定势，不利于学生智力的开发、能力的培养和素质的提高。

因此，在教学过程中，必须有机地对学生进行逆向思维的训练。

本文拟就初中数学教学中如何训练学生逆向思维能力的问题谈些初浅看法。

一、夯实“互逆”、“对应”的知识
数学知识有许多“相反互逆”的概念、公式、法则和定理，若能恰当地引导学生对它们进行双向思考，夯实这些数学知识，无疑会提高学生的逆向思维能力。

1、夯实“互逆”关系对数学中的互逆关系(例如“互为相反数”，“互为倒数”，“互为余角”，“互为补角”，“互逆运算”等)，在教学过程中要下工夫把它们讲清楚，使学生知道互逆关系的两个实体是相互依赖，互为存在的。

并引导学生对互逆关系进行“由此及彼”的思考、研究和比较。

这样，在对知识和技能产生正迁移的同时，也为灵活运用知识打下了坚实的基础。

2、夯实“对应”关系数学中对应的思想方法为训练逆向思维提供了有利条件。

绝对值方法为训练逆向思维提供了有利条件。

绝对值概念、式(数)的乘方、平方根(立方根)、正多边形和圆、函数的概念……都存在对应关系。

对这些知识，学生正向思考较方便，而逆向思考常有阻碍。

例如，知道了自变量的取值求函数值，学生易于掌握，而利用一些特定关系求函数的解析式，学生则不及前者顺利。

原因是进行这方面的思考，必须重新建立思维
* 原刊于《教与学》（人民教育出版社），1996年第11期，与伍银平同志合作。

过程的方向。

在思维(逆向)过程中有诸多的抑制和干扰因素，不利于学生(逆向)思维的正常进行，因此在教学过程中要注意强化的训练。

二、注意知识的逆向运用
夯实了可以逆向运用的知识，就要注意在教学中对这些可逆知识加以运用，以提高学生逆向思维的能力。

1、坚持概念及定义的逆运用 被下定义的概念和下定义的概念在外延上是完全一致的，即作为定义的命题与其逆命题是等价的，因此，在教学中要恰当地引导学生研究和运用它们的逆命题，进行双向思考，运用逆向思维形式分析和解决问题。

例1 若a 、b 是互不相等的实数，且a 2=7a+3，b 2=7b+3，求b
a a
b +之值。

[简析]本题采用先求a 、b 的值，再求b
a a
b +之值的方法，显然不是好方法。

若注意到已知两式关于a 和b 的运算法则对应相同，则可将a 、b 看成是方程x 2-7x-3=0的两根，运用韦达定理求b
a a
b +之值，显然可以达到奇效。

2、注意公式及法则的逆运用 在众多的公式及法则中，不乏具有可逆的公式和法则的存在。

在教学中要抓住机遇，强化公式及法则的逆运用，训练学生逆向思维。

例如：在刚刚讲授乘法公式时，要求学生计算a 2-2a(a-b)+(a-b)2；在讲授幂运算时，要求学生填空32+5=_______，a m-n =_________，a mn =[a ( )]( )=[a ( )]( )。

由于教学中有意识地强化了幂运算方面的逆运用训练，学生将来计算53+log 52时，便有驾轻就熟、水到渠成之感了。

对一些具有互逆关系的公式与法则，还要注意分析其“式结构”或“形结构”的特征，抓住其本质进行逆向训练。

例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证x+z=2y 。

[简析] 注意到条件有形如“b 2-4ac ”的式结构，那么可利用一元二次方程根的判别式来解决问题。

若x 、y 、z 互不相等，则有关于t 的一元二次方程(x-y)t 2+(z-x)t+(y-2)=0，显然1是此方程的根，联系到条件b 2-4ac=0，则此一元二次方程又有等根，所以t= -)
(2y x x z --=1，整理有x+z=2y(若x 、y 、z 不是互不相等，原命题显然成立)。

3、强化定理及命题的逆运用 在已学习某此定理及典型命题以后，引导学生思考它们的逆命题，并判断其真伪，再进行逆向灵活运用，是培养学生逆向思维的又一途径。

例3 设实数a 、b 、c 满足
⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--,
066078222a bc c b a bc a 试求a 的取值范围。

[简析] 对已知条件进行分析研究便知，b ·c 及b+c 能用含a 的代数式表示出来，则可利用韦达定理的逆定理构选出b 、c 是关于x 的方程x 2 (a-1)x+(a 2-8a+7)=0的两根，因为b 、c 为实数，所以△≥0，则有1≤a ≤9。

三、训练“反面求解”的方法
1、训练反面求解方法 在解题过程中经常遇到顺向求解较为困难的习题，若采用“正难则反”、“反而求解”方法，往往会达到事到半功倍之效。

例4 a 为何值时，x=1不是方程2x-a=3x+5的根？
[简析] 本题正面思考有相当难度，如改用反而求解则显得简单。

假设x=1是原方程的根，则a=-6。

显然，当a ≠-6时，x=1不是原方程的根。

2、训练反面论证方法虽然初中阶段学生接触反证法不多，但对于培养他们用反证的思想方法去解决问题仍然很重要。

在教学过程中，要注意研究反证法的运用，并把反证法用到代数证明题上。

例5 已知关于x的二次方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，证明其中至少有一方程有两实根。

[简析] 此题正面思考情况较复杂，不易得到结论。

注意到“三个二次方程至少有一方程有实根”的反面是“三个方程都没有实根”，且易用数学形式表达出来，则可用反证法来证明。

3、训练逆向推理方法逆向推理法(逆推法)就是从结论出发，逐步逆推，从而找出符合条件的结论，它是逆向思维的表现之一。

例6 将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得一新抛物线y=2x2+8x+3。

试确定a、b、c之值。

[简析] 这道题目按原图象变化进行思考，运算复杂，且有相当难度。

若从结论出发，进行逆向推理，则简单易解。

现在如下推理，依题意将抛物线y=2x2+8x+3=2(x+2)2-5(结论)向右平移2个单位，再向上平移3个单位，即得原抛物线(已知)，然后利用比较系数确定原解析式中的a、b、c。

四、营造逆向思维的氛围
训练逆向思维不是一朝一夕的事情，而是一项长期艰苦的工作，需要我们数学教育工作者付出艰辛的劳动。

因此我们在教学中，要注意多选编些逆向思维的习题供学生练习，以营造逆向思维的氛围，达到训练逆向思维的目的。

1、激励学生倒过来想问题，以构造逆向思维情境对一些数学问题，要注意引导学生将它们倒过来，放在新的数学情况中
去认识、去思考，使学生对旧问题产生新情趣，对数学产生浓厚的学习兴趣。

例如，给出一个方程(组)，要求学生编拟不同类型的应用题(如行程问题，工程问题，物价问题等)。

这样的数学活动，一则可激发学生学习的积极性，使学生觉得数学大有学头；二则可培养学生思维的深刻性，使学生认识到思得愈深，造得愈绝，解得愈妙；三则充分营造了逆向思维的氛围，使学生在愉快的情境中进行逆向思维的活动。

2、利用课外园地，创建逆向思维的环境
学校的板报画廊都是创建逆向思维环境的好载体，要充分利用这些载体，构建逆向思维的环境。

例如，借助于这些载体，要求学生对某一数学问题进行逆向变换，从而得到一个或多个逆命题，并加以论证。

还可通过在数学课外兴趣小组，开展撰写有关逆向思维的“小论文”活动，创设逆向思维环境。

注意训练学生的逆向思维，可提高学生思维的灵活性，克服思维的习惯性，从面提高学生分析问题和解决问题的能力，有利于完成“传授知识，训练技能，培养能力，形成良好的习惯和思维品质”的学科教学任务。

值得注意的是，正向思维有它很大的积极一面，决不能一味追求逆向思维的训练，否则恰得其反。