xz s yz s
y M z
= fy = fz
将 ϕ 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy l = cos( N , x ) = cos α = ds dx m = cos( N , y ) = sin α = − ds
∂ϕ dy ∂ϕ dx + =0 ∂y ds ∂x ds
xz s
yz s
α
∂ϕ dy ∂ϕ dx + (− )( − ) = 0 ∂y ds ∂x ds
∂f 3 ∂ f 2 1 ∂ϕ ( x , y ) + =− , G ∂x ∂y ∂z 1 ∂ϕ ( x , y ) ∂f 1 ∂ f 3 =− , + G ∂x ∂z ∂ x ∂f 2 ∂f 1 + =0 ∂x ∂y 2 2 ∂ f1 ∂ f1 = 0, = 0, 2 2 ∂z ∂y
∂ 2 f2 ∂ 2 f2 =0 = 0, 2 2 ∂z ∂x
u = − Kyz 将两式相减，得： （10-6） v = Kzx 1 ∂ 2ϕ 1 ∂ 2ϕ 0= + 2K + 2 2 ∂ ∂ ϕ w v 1 ∂ 将其代入： G ∂y G ∂x + =− , ∂y ∂ z G ∂x 1 2 0 = ∇ ϕ + 2K ∂u ∂w 1 ∂ϕ G + = , ∂z ∂ x G ∂y 2 有： ∂w ∇ ϕ = −2GK （10-8） 1 ∂ϕ = + Ky , ∂x G ∂ y 将其对照式（10-3）： （ 10-7 ） ∂w 1 ∂ϕ 2 =− − Kx , （10-3） ∇ ϕ = C ∂y G ∂x 可见： 1 ∂ 2ϕ ∂ 2w = + K, 2 （10-9） ∂ x∂ y G ∂ y C = −2GK ∂ 2w 1 ∂ 2ϕ 实际问题中，K 可通过实验测得。 =− − K, 2 ∂y∂x G ∂x
将式（10-1）代入，得：
O y
（8-1）
M
x
M z
相容方程：
∂τ zx =0 ∂z ∂τ zy =0 ∂z ∂τ xz ∂τ yz + =0 ∂x ∂y
（a）
—— 扭转问题的平衡方程
相容方程(无体力)：
2 ∂ Θ 2 (1 + μ )∇ σ x + 2 = 0 ∂x 2 ∂ Θ 2 (1 + μ )∇ σ y + 2 = 0 ∂y 2 ∂ Θ 2 (1 + μ )∇ σ z + 2 = 0 ∂z ∇ 2τ yz = 0
γ zx
G 1 = τ zx , G
u = f1 ( y , z ), v = f 2 ( z , x ),
w = f 3 ( x, y)
代入后三式，有
γ zx
再将几何方程代入，有
G ∂x 1 ∂ϕ , = G ∂y
∂u = 0, ∂x ∂w ∂v + ∂y ∂ z ∂u ∂w + ∂z ∂x
∂w ∂v = 0, = 0, ∂z ∂y 1 ∂ϕ =− , （f） G ∂x 1 ∂ ϕ ∂ v ∂u + = , =0 G ∂y ∂x ∂ y
—— 扭转问题的相容方程 （b）
y M
( )
（c）
∫∫ z （2）端面： f dxdy = ∫∫ τ dxdy = 0 （e） ∫∫ （f） 注意：具体分析 过程后面给出。 ∫∫ ( yf − xf )dxdy = ∫∫ ( yτ − xτ )dxdy =M
y zy
x y zx zy
f x dxdy = ∫∫ τ zx dxdy = 0 （d）
由此可见： 对每个横截面（z =常数） 它在 x y 面上的投影形状不变，而只 是转动一个角度 α=Kz 。
v = v 0 + ω z x − ω x z + Kzx
其中： 若不计刚体位移，只保留与 变形有关的位移，则有
以前相同，代表刚体位移。
u0、v0 、ωx、ωy、ωz 和
dα =K dz
K —— 单位长度杆件的扭转角 。
x y
α
∫∫ （d） ∫∫ f dxdy = 0, ∫∫ ( yf − xf )dxdy = M ,（e）
f x dxdy = 0,
y
（c）
τ zx = τ xz
τ zy = τ yz
x
y
∂ϕ , = ∂y ∂ϕ y =− ∂x
O
M
x
对式（c），应有
M z
∂ϕ ∫∫ f x dxdy= ∫∫ − τ zx dxdy = ∫∫ − ∂y dxdy ∂ϕ dy = − ∫ (ϕ B−ϕ A )dx ≡ 0 = − ∫ dx ∫ ∂y 同理，对式（d），应有 ∫∫ f y dxdy ≡ 0
∂ ∇ 2ϕ = 0, ∂y ∂ ∇ 2ϕ = 0, ∂x
(
)
z
(
)
结论： 等直杆的扭转问题归结为： 按相容方程（10-3）确定应力函 数ϕ（x，y），然后按式（102）确定应力分量，并使其满足 边界条件。
由此可解得：
∇ 2ϕ = C
（10-3）
—— 用应力函数表示的相容方程 式中：C 为常数。
定解条件——边界条件 （1）侧表面： 0
对式（e）：
x
α
∫∫ ( yf
− xf y dxdy = − ∫∫ yτ zx − xτ zy dxdy ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ = − ∫∫ ⎜ ⎜ y ∂y + x ∂ x ⎟ ⎟dxdy ⎝ ⎠
)
(
)
∫∫ ( yf
− xf y dxdy = − ∫∫ yτ zx − xτ zy dxdy ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ = − ∫∫ ⎜ ⎟dxdy ⎜ y ∂y + x ∂ x ⎟ α ⎠ ⎝ ∂ϕ ∂ϕ = − ∫∫ y dxdy − ∫∫ x dxdy ∂y ∂x ∂ϕ ∂ϕ 同理，得： = − ∫ dx ∫ y dy − ∫ dy ∫ x dx ∂y ∂x ∂ϕ − ∫ dy ∫ x dx = ∫∫ ϕdxdy 分部积分，得： ∂x ∂ϕ dy − ∫ dx ∫ y 将其代入式（e）： ∂y yf x − xf y dxdy = M B ∫∫ = − ∫ yϕ A − ∫ ϕdy dx
第十章 等截面直杆的扭转
要点：（1）等截面直杆扭转问题的基本方程 （2）按应力求解扭转问题的方法 —— 扭转应力函数 （3）扭转问题的薄膜比拟理论
主 要 内 容
§10-1 扭转问题中应力和位移 §10-2 扭转问题的薄膜比拟 §10-3 椭圆截面的扭转 §10-4 矩形截面杆的扭转 §10-5 薄壁杆的扭转 §10-6 扭转问题的差分解
ϕ（x，y）——扭转应力函数
也称普朗特尔(Prandtl)应力函数
τ zx = τ xz
τ zy = τ yz
2
∂ϕ = , ∂y ∂ϕ =− ∂x
∇ τ yz = 0
2
O
（b） y
M
x
（10-2）
∇ 2τ zx = 0
—— 扭转问题的相容方程
将式（10-2）代入相容方程（b），有
M
⎛ ∂ϕ ⎞ ∇ ⎜ ⎟ = 0, ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎞ 2⎛ ∇ ⎜− ⎟=0 ⎝ ∂x ⎠
将其极坐标表示：
（10-6）
ur = u cos θ + v sin θ uθ = − u sin θ + v cos θ ur = 0, uθ = Krz
将式（10-6）代入，有：
K 2 = − K1 = K
u = u0 + ω y z − ω z y − Kyz
代入 f1、f2 和 u、v 得：
∂ϕ dy ∂ϕ dx =0 + ∂y ds ∂x ds
dϕ =0 ds
表明：在杆件的侧面上（横截 面的边界上），应力函数 ϕ 应 取常数。 又由式（10-2），应力函数 ϕ 差一常数不影响 应力分量的大小， 于是对单连体（实心杆）可取：
ϕ s = 常数
α
ϕs =0
（10-4）
—— 扭转问题的定解条件之一。 对于多连体（空心杆）问题， ϕ 在每一边 界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此， 只能将其中的一个边界上取 ϕs=0，而其余边界 上则取不同的常数，如：
☻横截面发生翘曲。 ☻等直圆杆扭转时推出 的应力变形公式在此不 适用。 ☻由弹性力学方法求解 应力变形。
动画演示：
自由扭转(纯扭转) 各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切 应力而无正应力。 约束扭转 各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外 还有附加的正应力。
§10-1 扭转问题中应力和位移
2∫∫ ϕ dxdy = M
M z
τ zx = τ xz
应力分量：
τ zy = τ yz
∂ϕ = , ∂y ∂ϕ =− ∂x
（10-2）
α
2. 扭转的位移与变形
由物理方程，得：
Байду номын сангаас
ε x = 0, ε y = 0, ε z = 0, γ xy = 0, 1 ∂ϕ 1 γ yz = − , γ yz = τ yz ,
积分前三式，有
f1 = u0 + ω y z − ω z y + K 1 yz
f 2 = v 0 + ω z x − ω x z + K 2 zx
∂f ∂f 1 又由： 2 + = 0 得： ∂x ∂y ω z + K 2 z − ω z + K1z = 0
从中求得： 由
u = − Kyz v = Kzx
ϕs =0
0
τ zx = τ xz
τ zy = τ yz
ϕ s = Ci
i
值条件确定。
Ci 的值由位移单
∂ϕ , = ∂y ∂ϕ （10-2） =− ∂x