47.2 MPa 60 MPa
所以，实心轴强度满足要求。
28
⑶确定空心轴的外径D1 依题意,实心轴的最大切应力等于空心轴的最大切应力。 即 16T 16T
max
Tmax Tmax WP WP 1 D
3
D
16 103
3
max 3

max
D1 ( 1 4 )
8
I p A dA
2
单位：mm4，m4。
③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆 截面杆，只是Ip值不同。 a. 对于实心圆截面：
d
I p A dA
2
2 d
2 0
D 2

O
D

D
4Leabharlann 32 0.1D4
9
b. 对于空心圆截面：
d
I p A dA
d T GI p dx
T Ip
7
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公 式。
⑷公式讨论： ①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩 求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
或
d T 180 dx GI p
( /m)
GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能 力，称为圆轴扭转刚度。
30
三、刚度条件
max
T (rad/m) GI p max
[ ]称为许用单位长度 扭转角。
等截面圆轴
max
2
3
⒉应力公式推导
⑴变形几何关系
G1G d tg dx dx
R d 最外层的切应变 dx
d dx
距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离 成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
4
d dx 当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应力与 切应变成正比关系。
3
D1
1
4

1 0.916
4
90mm
⑷比较两轴的重量
W1 A1 D1 ( 1 2 ) ( 90 103 )( 1 0.9162 ) 0.362 3 2 W A D2 ( 60 10 )
2
所以，采用空心轴较为合理。
29
二、单位长度扭转角 ： d T (rad/m) dx GI p
11
⑤ 确定最大切应力
由
T Ip
D , max 知：当 R 2
T Ip T D (令 W P I p ) D WP 2 2
max
T
Ip
D 2
max
T W —扭转截面系数（抗扭截面模量）， P WP 几何量，单位：mm3或m3。

A
dA R0 T

R0 AdA R0 2 R 0 T
T T 2 2 R 0 2 A 0
A0—平均半径所作圆的面积。

R

13
四、切应力互等定理
m
z
0
( dxdz )dy ( dydz )dx 故
上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上， 切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于 两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交 线。
该定理不仅对纯剪应力状态成立，而且对非纯剪应力 状态也成立。
14
15
五、扭转圆轴的变形计算 由公式
d T dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 l T l d 0 dx —的正负号与扭矩相 GI p
T
max
GI p
有时，还可依据此条件进行选材。
32
[例5-4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输 入功率P1 = 367.5kW， 输出功率分别 P2 = 147kW及 P3 = 220.5kW，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa， [ ]=1º /m ，试确定： ⑴AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ⑵若全轴选同一直径，应为多少？ ⑶主动轮与从动轮如何安排合理？
解：⑴作圆轴的扭矩图， 如图所示。 A
D
B
1m 1m
C 1m
d
D
10kN m
⊕
A B
C
D
T图
18
5kN m
⑵计算各段的 I P 和 W P
D
10kN m
15kN m
5kN m
对于AC段
A
I P1
3.14 ( 100 103 )4 32 32
D 4
B
1m 1m
对于等截面圆轴：
WP

[]可由实验确定，静载时,[] 和材料的[σ] 之间 有如下关系 塑性材料 脆性材料
( 0.5 ~ 0.6 ) ( 0.8 ~ 1.0 )
23
强度计算三方面： ① 校核强度：
max
T max WP [ ]
T max GI p
(rad/m)
在工程上，习惯用(°/m)作为[θ]的单位
max
T max 180 ( /m) GI p
31
对于一般传动轴[θ]=(0.5~1) °/m
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
T G
max
② 设计截面尺寸： I p ③ 计算许可载荷：
Tl 同 单位：rad ( 若 T 值不变） GI p GI P —圆轴的扭转刚度
当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直径 不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后按代 数值相加。
16
当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直 径不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后 按代数值相加。
T l dx i GI P
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
§5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
§5–3 矩形截面杆在自由扭转时简介
1
§5-1
圆轴扭转时的应力和变形计算
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
一、圆轴扭转时的应力 等直圆杆横截面应力 ⒈实验观察 ⑴横截面变形后仍为平面； ⑵轴向无伸缩； ⑶纵向线变形后仍为平行。
6
⑶静力学关系
G
2
d dx
dA τp
d T A dA A G dA O dx d G A 2dA dx 2 令 I p A dA Ip—圆截面对圆心的极惯性矩

d T dx GI p d 代入物理关系式 G 得： dx
⑵物理关系—剪切胡克定律
G
G—材料的切变模量
对于各向同性的线弹性材料，可以证明，三个材料 常数之间有如下关系：
E G 2( 1 )
5
把

G 中，得 d d G G G dx dx
d 代入 dx
d G dx
实： D 3 16 3 WP D 4 空： （ 1 ） 16
② 设计截面尺寸： WP ③ 计算许可载荷：
T max [ ]
T max WP [ ]
24
[例5-2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动 机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核 其强度。 m m 解：⑴求扭矩及扭矩图
C 1m
d
D
9.82 10 m
6
3
4
3 3
10kN m
⊕
A B
I P 1 D ( 100 10 ) WP 1 R 16 16
C
D
T图
5kN m
1.96 10 4 m 3
19
D 4 I P2 ( 1 4 ) 9.82 10 6 ( 1 0.5 4 ) 9.21 10 6 m 4 32 I P2 D 3 WP 2 ( 1 4 ) 1.96 10 4 ( 1 0.5 4 ) 1.84 10 4 m 3 D2 16
27.2 MPa
D
A
1m
B
1m
C 1m
d
D
10kN m
min2
TCD 5 103 25 103 A 6 I p2 9.21 10
⊕
B
C
D
T图
13.6 MPa
5kN m
21
⑷计算扭转角
AB 0
BC
CD
TBC l BC 10 10 3 1 3 12 . 7 10 rad 9 6 GI P 80 10 9.82 10 TCD l CD 5 10 3 1 3 6 . 8 10 rad 9 6 GI P 2 80 10 9.21 10
对于实心圆截面：
WP I p R D 3 16
12
对于空心圆截面： WP I p R D 3 (1 4 ) 16
三、薄壁圆管的扭转切应力
1 薄壁圆筒：壁厚 R0 （R0为平均半径） 10 其扭转切应力可按空心圆轴进行计算，由于管壁较薄， 切应力可认为沿壁厚均匀分布。由 静力关系得
A
T
B
D3 =135
C D2=75 D1=70