(全国II 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）
【理数10题】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A
【答案】C 【考点】 线面角
解法二：向量法：取空间向量的一组基底为{}
1,,BA BC BB ，则11AB BB BA =-，
111BC BC CC BC BB =+=+，易知15AB =，12BC =
2
1111111()()==2AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+⋅+-⋅-
⋅，
所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为111111
cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅<>==
=
⋅，故本题答案为C.
解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,1),1,0),(0,1,1),(3,1,1)
B A B
C AB -==-，所以异面直线1AB 与1C B
所成角的余弦值
1111
cos 52AB BC AB BC θ⋅=
=
=⋅，故本题答案为C.
【理数12题】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A.2- B.32- C. 4
3
- D.1- 【答案】B
【考点】 平面向量的坐标运算、函数的最值
【分析】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【解析】
解法二：极化恒等式：取BC 的中点为M ，则2PB PC PM +=，于是()2PA PB PC PA PM ⋅+=⋅，根据极化恒等式可得
222
221133=()()(2)()4444
PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤⋅+--=-=-≥-⎣⎦⎣⎦，故选B. 解法三：代数法：如图所示，若()PA PB PC ⋅+取最小值，则PA 与PB PC +反向共线，即点P 位于ABC
∆
PA x =，则=2(3)PB PC x +，因此
2())2PA PB PC PA PB PC x x x ⋅+=-⋅+=-⋅=-；
当x =
()PA PB PC ⋅+取得最小值，此时，223
()=222
PA PB PC PA ⋅+-=-⨯=-.
【理数24题】已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5
5
()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
【考点】 不等式性质的应用 【解析】
（2）均值不等式：利用均值不等式的结论结合题意证得()
3
+8≤a b ，即可得出结论.
()()()()
()b a a b ab b ab a b a b a b a b +=+++=+≤=+
3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a
所以()
3
+8≤a b
，因此2a b +≤.
解法二：（1）同解法1；
分析法：因为0,0a b >>，要证明2a b +≤，只需证明3
()8a b +≤，
即证明3223338a a b ab b +++≤，只需证明222a b ab +≤，因为33
2a b +=，上式等价于
22330a b ab a b +-+≤，也即22()()0a b a b a b -+-≤，即222()()()()0a b b a a b a b --=--+≤，因为0,0a b >>，上式显然成立，所以结论成立，即2a b +≤.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：55332()()()4a b a b a b ++≥=+≥,
=，即1a b ==时取等号，所以55()()4a b a b ++≥，原问题得证. （2）同解法1.
【文数11题】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.110
B.15
C.3
10
D.25
【答案】D 【考点】 古典概型 【解析】
解法一：图表法：根据题意，写出基本事件空间，如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为
102
=,本题选D.
解法二：基本事件空间法：容易知道，基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2）（5,3），（5,4），共有10m =个基本事件，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102
255
p ==,本题选D.
解法三：分类讨论：根据题意，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有以下四种：（1）第一张抽到2，第二张抽到1，概率11115525
p =
⨯=；（2）第一张抽到3，第二张抽到1或2，概率
21225525p =⨯=；（3）第一张抽到4，第二张抽到1或2或3，概率31335525
p =⨯=；（4）第一张抽到5，
第二张抽到1或2或4，概率41445525p =⨯=；故12342
5
p p p p p =+++=，本题答案为D.
【文数12题】△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 【答案】
3
π
【考点】 正余弦定理的应用
【分析】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．
解法一：化边为角：由正弦定理可得
1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23
B B A
C C A A C B B B =+=+=⇒=
⇒=.
解法三：特殊化处理：若△ABC 为等边三角形，则,cos cos cos a b c A B C ====，满足已知条件，所以
3
B π
=
. 【文数24题】已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5
5
()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
【考点】 不等式性质的应用 【解析】 解法一：
（1）配方法：展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；
5565563323344222()()()2()=4()4
a b a b a ab a b b a b a b ab a b ab a b ++=+++=+-+++-≥
（2）均值不等式：利用均值不等式的结论结合题意证得()
3
+8≤a b
，即可得出结论.
()()()()
()b a a b ab b ab a b a b a b a b +=+++=+≤=+
3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a
所以()3
+8≤a b ，因此2a b +≤
.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：55332()()()4a b a b a b ++≥=+≥,
=，即1a b ==时取等号，所以55()()4a b a b ++≥，原问题得证. （2）同解法1.。