函数的图像【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。

2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。

【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．① y=f(x)h左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h右移→y=f(x h); ③y=f(x) h上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h下移→y=f(x)h.2、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．①y=f(x) 轴x →y= f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(x); ③y=f(x)ax =→直线y=f(2a x); ④y=f(x) xy =→直线y=f 1(x);⑤y=f(x) 原点→y= f(x).提示：a.若f (a ＋x )＝f (b －x )，x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于x ＝a ＋b2成轴对称图形，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，x ∈R ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b2，0)成中心对称图形．b.函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝12(b －a )对称.3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx4、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． ①y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx);② y=f(x)ω⨯→y y=ωf(x).【经典例题】【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）A. B. C. D.【解析】∵函数()()y f x g x=⋅的定义域是函数()y f x=与()y g x=的定义域的交集(,0)(0,)-∞+∞U，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。

由于当x为很小的正数时()0f x>且()0g x<，故()()0f xg x⋅<。

∴选A.【例2】说明由函数2xy=的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy--=+的图像．【解析】方法一：（1）将函数2xy=的图像向右平移3个单位，得到函数32xy-=的图像；（2）作出函数32xy-=的图像关于y轴对称的图像，得到函数32xy--=的图像；（3）把函数32xy--=的图像向上平移1个单位，得到函数321xy--=+的图像．方法二：（1）作出函数2xy=的图像关于y轴的对称图像，得到2xy-=的图像；（2）把函数2xy-=的图像向左平移3个单位，得到32xy--=的图像；（3）把函数32xy--=的图像向上平移1个单位，得到函数321xy--=+的图像．【例3】设曲线C的方程是3y x x=-，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)t≠个单位长度后得到曲线1C，（1）写出曲线1C的方程；（2）证明曲线C与1C关于点(,)22t sA对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-．【解析】（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．【例4】（1）试作出函数1y x x=+的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么 【解析】（1）∵1()f x x x=+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥， ∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)，又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：（2）y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，()f x 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)-+∞；单调减区间为(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值．【例5】已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 【解析】作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1； 当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋ay ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根． 【例6】 作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |x －1|a ，(3)y ＝|log a(x －1)|(a >1)． 【解析】(1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x－1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）1y=log a xy=ax+1-11o yx y=a x 1y=ax+11oy xy=a xy=ax+11oy xy=ax+1y=ax+11oy xA. B. C. D. 2、已知函数f(x)=(x 1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f 1(x)与y=a |x1|的图象只可能是( )A11-1oyxB11-1o yxC11-1o yxD11-1o yx3、在下列图象中，二次函数y=ax 2+bx 与指数函数y=xab )(的图象只可能是（ ）A11-1o yxB11-1oyxC11-1oyxD11-1oyx4、已知函数y=a/x 与y=ax 2+bx, 则下列图象正确的是（ ）AoyxBo yx Co y x Do yx5、函数y=|1|2x 的图象是（ ）Ao yxBo y xCo yxDo yx6、函数y=(3x 1)/(x+2)的图象 （ ）A. 关于点(2,3)对称B. 关于点(2,3)对称C. 关于直线x= 2对称D. 关于直线y= 3对称 7、若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（ ） A. y= f 1(x) B. y= f 1(x) C. y= f(x) D. y= f(x)8、设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x 1)与y= f(1x)的图象关于（ ）对称A.直线x=0B.直线x=1C.点(0,0)D.点(1,0)9、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（ ） A ．y=|log 2x| B. y=2|x| C. y= D. y=|x1/3|o yxo yxo y xo yx10、已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1x)的图象是（ ）11-1o yxA11-1o yxB-21-1oyxC11-1oyxD 11-1o yx11、下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x 对称；②若f(x)= f(x),则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(x)则f(x)的图象关于y 轴对称；④y=f(x)的图象与y= f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）A 、②③B 、②③④C 、①②③D 、全都是12、把函数y=cosx 的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为 .13、画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3).14、若函数y=log 2|ax 1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为 . 15、函数y=f(|x m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线 对称.16、将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_______. 17、如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；A. B. C. D.（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 ； （2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 ； （3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 ； （4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 ．a b c d 18、已知f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则b 的取值范围是 . 19、说出作出函数y=log 2(1x) 的图象的过程.20、方程|x 2+2x 3|=a(x 2)有四个实数根，求实数a 的取值范围.【课后作业】1、函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x 2D ．y ＝log 21x ＋13、若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6) 4、（2009安徽）设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )thvht hth12oy x5、已知下图①的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是() A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)6、函数f(x)＝11＋|x|的图象是()7、已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象大致是()8、若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()A ．a <－1B ．|a |≤1C ．|a |<1D ．a ≥19、f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0)10、若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．11、若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．12、设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．【参考答案】【课堂练习】1、D2、C D3、A4、C5、C6、A7、D8、D9、C 10、C 11、C12．y=cos(2x1/2). 设P1(x1,y1)为原图象上的点,通过变换后得到新图象上一点P(x,y)，则x=(x1+1/2)/2, ∴x1=2x1/2, y1=y, 代入y1=cosx1得到y=cos(2x1/2).13．(1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；(2)y=11/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变化。