1 E 2X 3X 2E X 3E X 2
3
2
2 E 2X 3X
2E X 3E X
13
∞
x 3e dx
13
∞
x de
1 3 x ·e
∞ 0
∞
e dx
13 0
∞
e · 2x dx
2∞
13
e
3
21 1 333
1 3
· 3x dx
3 EXX EX EX
7. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
2
f x, y
e
μ
ρ
σ
ρ
μ
μ
σσ
μ σ
πσ σ ρ
E X 0, E Y 0
μ1 0, μ2 0,
D X 16, D Y 25
σ1 4, σ2 5
Cov X, Y 12
Cov X, Y
12 3
ρ DX DY 4 5 5
f x, y
1
25 x2 3xy y2
32π e 32 16 50 25
SHEET 5 OF 10
A.
B. 3
C. 18
D. 36
解:
ρxy
1 2
Cov X,Y DX DY
Cov 2
X,Y 3
,
Cov X, Y
3
SHEET 6 OF 10
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[‐1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
D. 12
试求: (1)E(X), D(X); (2)P |X E X | 2
.
解:
(1) E X
x dx 0
DX EX E X
3 x
2
3x ·
25
1 1
3 5
(2) P |X E X | 2
P |X|
四、 设随机变量 X 的概率密度为
x0 x 1 f x 2 x, 1 x 2
0, 其他
f x dx
x dx 1
xf
x
dx
x · cxαdx 0.75
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习题 4.2 1. 设离散型随机变量 X 的分布律为
X
‐1
0
0.5
1
2
P
0.1 0.5 0.1 0.1 0.2
求E X , E X , D X .
解: E X
1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45
EX
1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025
DX
1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.1
2 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差.
1, x 1.
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
arcsinx 的导数为 1 √1 x
arctanx 的导数为 1 √1 x
(1) f x F x
,1 x 1
√
0, 其他
∞
f x dx
∞
又因当 1 x
b dx
√1 x 1时
b · arcsinx 1 1
1, 即b 1 π
X
FX
f x dx
11
f x, y
0, 其他
求 X 与 Y 的相关系数 ρxy.
解:
∞∞
EX
xye dy dx 1
∞∞
EY
y e dx dy
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∞∞
y e e dx dy
∞
y e dy
∞
y de
ye
∞ 0
∞e d y
∞
0
e · 2y dy
∞ · y dy服从λ=1 的指数分布
1
0.1 0.2 0.1
2
0.3 0.1 0.2
求 E(X).
解:E X ∑ ∑ x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2 0.2 0.9
8. 设随机变量 X 的概率密度为
cxα, 0 x 1,
fx
0, 其他.
且 E(X)=0.75,求常数 c 和α.
解: E X
∞ ∞
.
5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布, E X = 6
.
解: E X λ 2, D X λ 2,
EX E X DX 4 2 6
6. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则E X =
8
.
7. 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
x
Fx
,0 x 4 4
1, x 4
C. Cov(X,Y)=1
D. (X,Y)的分布函数是Φ x · Φ y
二、 填空题
1. 若二维随机变量(X,Y)~N(μ , μ , σ , σ , 0),且 X 与 Y 相互独立,则 ρ= 0 .
解: Cov(X,Y)=0 2. 设随机变量 X 的分布律为
3.
X
‐1
0
1
2
P
0.1 0.2 0.3 0.4
E XY
∞∞
xy e
dy dx 2
Cov X, Y E XY 所以
Cov X, Y ρxy
DX DY
EXEY 0
2 21 0
4. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概 率密度函数 f(x,y). 解:
5. 证明 D(X‐Y)=D(X)+D(Y)‐2Cov(X,Y). 证: DX Y EX Y EX Y
E X EX Y EY
E X EX
2E X E X · E Y E Y E Y E Y
D X D Y 2Cov X, Y
6. 设(X,Y)的协方差矩阵为C
4 3
3 9
,求
X
与
Y
的相关系数
ρxy.
解: C
x a·x b·x c·
2
∞ ∞
EX
x
x y dy dx
8
x ·y
8
xy ·
82
2 0
dx
7 6
y
7
EY
x y dx dy
8
6
E XY
xy
4
x y dy dx
8
3
4 77 1 Cov X, Y E XY E X E Y 3 6 6 36
3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
ye , x 0, 0,
试求: (1)E(X), D(X); (2)E X ,其中 n 为正整数. 解:
(1) E X
x dx x 2 x dx
1
DX EX E X
x dx
1 14 15
1
x2 2 x 1
1
4 34
6
(2) E Xn
x dx
xn 2 x
五、 设随机变量 X1 与 X2 相互独立,且 X1~N(μ, σ ), X2~N(μ, σ ).令 X= X1+X2, Y= X1‐X2.
解: X~U 1,3 , Y~U 2,4
ab EX
2
13
24
1, E Y
3
2
2
E XY E X E Y 1 3 3
7. 设二维随机变量(X,Y)~N(0,0,1,1,0),Ø(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .
A. X 与 Y 都服从 N(0,1)正态分布
B. X 与 Y 相互独立
习题 4.1
1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1)f x
2x, 0 x 1, 0, 其他;
(2) f x e | | , ∞
∞
求 E(X)
解: (1)E X
∞ xf x dx
∞
x · 2xdx
2·
1 0
(2) E X
∞ ∞
xf
x
dx
∞ ∞
x
·
e ||
0
2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1, F x a b · arcsinx, 1 x 1,
B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
C. E(XY)= E(X)E(Y)
D. (X,Y)~N(μ , μ , σ , σ , 0)
解: X 与 Y 不相关 ρxy 0, Cov X, Y 0 E XY E X E Y
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(1,1,4,9, ),则 Cov(X,Y)= B .
解: X 的可能取值为 0,1,2
P X 0 C 0.1
C
C ·C
PX 1
0.6
C
C
PX 2
0.3
C
E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2
D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 3. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为
注意此处不可以用二项分布式:
PX k C pq
解:
∞x e
|
|dx
∞2
此为奇函数,故=0
∞ e | |正负无
∞
穷带入结果都一样,故
=2
∞ ∞
e
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