外测度的性质与计算The properties and calculation of the outermeasure姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：外测度的性质与计算【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数江西师范大学11届学士学位毕业论文集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。

The properties and calculation of the outside measure【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property目录1 引言 (1)2 Lebesgue外测度的定义 (1)3 一般集的外测度的性质 (2)3.1 非负性 (2)3.2 单调性 (2)3.3 次可数可加性 (2)3.4 距离可加性 (2)3.5 平移不变性 (4)3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究 (4)3.7外测度的介值定理 (6)3.8 外测度的其他性质 (7)4 可测集的外测度 (8)5 外测度的计算 (10)6 小结 (11)参考文献 (12)外测度的性质与计算1 引言在19世纪时,数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann 积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题,为了克服Riemann 积分在理论上的局限性,必须改造原有的积分定义,建立一种新型积分.19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念,1898年,Borel 建立了一维Borel 点集的测度,法国数学家Lebesgue 在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论,并成功的建立起新的积分理论--Lebesgue 积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般σ代数上建立测度,开始创立抽象测度理论,1918年,意大利数学家Caratheodory 关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用.）.Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和,这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann 可积函数类之外；Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.例设()x f 在[]b a ,上有界,满足()M x f m <<,作分割M y y y y m n 210=<<<<=令 (){}n i b x a y x f i ,2,1,,y x E 1-i i =≤≤<≤= ， 则对应于上面分割的积分和为i ni i m E y∙∑=-11,其中i m E 为点集i E 的长度,这种积分的优点在于可以取1--i i y y 很小,使得积分和的近似程度很高,它将积分对象从Riemann 可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类.积分和计算的关键是点集i E 的度量，对于通常的区间i E 的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在n R 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue 外测度与测度理论。

Lebesgue 外测度是对n R 中一般的点集E 给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue 积分的基石,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,下文即是对Lebesgue 外测度的性质与计算的一些研究.2 Lebesgue 外测度的定义定义1 我们称n 维空间R n中的点集{}n i b x a x x x I i i i n ,2,1,,,,21=<<=为开区间,其中i i b a ≤n),1,2,(i =为常数（因此空集也是开区间,此时需某i i b a =）.当i x 满足的条件分别改为i i i b x a ≤≤和i i i b x a ≤<时,相应的点集分别称为闭区间和左开右闭区间.而数i i 1(b -a )ni =∏称为这三种区间的体积,记作I .设E ⊂R n,若{I K }是R n中可数个开区间,使得1E I k ∞⊂= k ,则称{I K }是E 的一个可数开覆盖,显然,E 的每一个可数开覆盖的体积和确定了一个非负广义数∑∞=1k k I （即可取有限数或+∞）.定义 2 称{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=的可数开覆盖是E I I k k k 1inf 为点集E 的Lebesgue 外测度,简称外测度,记作m *E.注：上述定义中E 的开覆盖中开区间的个数可以是有限的,因为k I 可以取作空集.3 一般集的外测度的性质3.1 非负性定理1 非负性：0E m *≥,*m Ø=0证明由定义可直接推出.3.2 单调性定理2 单调性：若21E E ⊂,则2*1*E m E m ≤证明 设{I K }是E 2的可数开覆盖,则它也是E 1的可数开覆盖.因此**122inf 11m E I I E m E k kk k ⎧∞⎫∞⎪⎪≤⊃=∑⎨⎬⎪⎪==⎩⎭3.3 次可数可加性定理3 次可数可加性： *m （ ∞=1k kE ）≤k E k m ∑∞=1*证明 对于任意0>ε及每一正整数k,由外测度定义,存在k E 的可数开覆盖{}∞=1,l l k I ,使得k E ∞=⊂1,l l k I ,k k E m i l k I 21,*ε+≤∑∞=, ,2,1=k ，由此得∞=⊂∞=1,,1l k l k Ik k E , ε+∑∞=≤∑∞=kE k m l k l k I 11,,*即∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,l k l k I 是 ∞=1k k E 的可数开覆盖,从而有 ε+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=∞=k k k k E m E m 1*1* ，由ε的任意性,得k k k k E m E m ∑∞=∞=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1*1*3.4 距离可加性定理4 距离可加性： 设E 1,E 2是R n 中的点集,若它们的距离()0,21>E E ρ，则 ()2*1*21*E m E m E E m +=分析 由次可加性,对R n 中任意两个点集E 1和E 2,总有()2*1*21*E m E m E E m +≤因此只需证明()2*1*21*E m E m E E m +≥由外测度定义,如果21E E 的任意可数开覆盖,能够分解为E 1和E 2的开覆盖,而且这两个开覆盖中没有公共区间即可.显然这点一般是做不到的,但是由于E 1和E 2之间有正距离,所以当我们选择21E E 的开覆盖,使其中的区间充分小时,分解成E 1和E 2的没有公共开区间的开覆盖就能做到. 引理 1 设n R E ⊂,对任意正数δ,令⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⊃=∞=∞=∑δδ的边长每个k 11*,inf I E I I E m k k kk 则有E m E m **=δ证明：由于边长小于δ的区间所构成的开覆盖是E 的开覆盖的一部分,故E m E m **≥δ.下证.**E m E m <δ不妨设+∞<E m *. 由外测度定义,对任意0>ε,存在E 的可数开覆盖{}k I ,使得ε+≤∑∞=E m I k k *1对每个k,把I K 分割成()k l 个开区间： ()k l k k k I I I ,2,1,,,, 它们互不相交且每个开区间的边长都小于2δ.现保持每个i k I ,的中心不动,边长扩大()21<<λλ倍作出新的开区间,记为i k I .λ.显然对每个k,有 ()k k l i i k I I ⊃= 1,λ ,()()k nk l i i k nk l i i k I I I λλλ==∑∑==1,1, 易知(){} ,2,1;,,2,1,==k k l i I i k λ是E 的边长小于δ的可数开覆盖,且有()ελλλ+≤=∑∑∑∞=∞==E m IIn k knk k l i ik *11)(1,从而可知 ()ελδ+≤E m E m n ** 令1→λ,由ε的任意性,得 E m E m **≤δ因此 E m E m **=δ外测度距离可加性的证明：由分析可知,只需证明()2*1*21*E m E m E E m +≥ ,设()+∞<21*E E m .对任意0>ε,由引理1,作21E E 得可数开覆盖{}k I ,使得 ()ε+<∑∞=21*1E E m I k k其中每个I k 的边长都小于()n E E /,21ρ.显然可将{}k I 分为两组()}{1k I 和(){}2k I 使得 1E () kk I 1⊂ 2E () kk I 2⊂由于I k 的边长都小于()n E E /,21ρ,故I k 的直径小于()21,E E ρ,因此以上两组开区间中的每个开区间不能同时含有E 1和E 2中的点,从而()()()2*1*2121*E m E m I I I E E m kk kk kk +≥+=>+∑∑∑ε再由ε的任意性,即得()2*1*21*E m E m E E m +≥ 。