巧用旋转法解几何题
∵AD=DB ，∠ADG=∠BDF
∴⊿ADG ≌⊿BDF （SAS ）
∴∠DAG=∠DBF ，BF=AG
∴AG ∥BC
∵∠C=90°∴∠EAG=90°
∴EG 2
=AE 2
+AG 2
=AE 2
+BF 2
∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2
=AE 2
+BF
2
例2，如图2，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是⊿ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数.
分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。

解：作MC ⊥CP ，使MC=CP ，连接PM ，BM ∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2
∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ） ∴MB=AP=3
G
F
E D
C
B
A
∵PC=MC ，∠PCM=90° ∴∠MPC=45°
由勾
股定理
PM==
2
2MC PC =
2
2PC =22，
在⊿MPB 中，PB 2
+PM 2
=（22）2
+12=9=BM 2
∴⊿MPB 是直角三角形
∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°
例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2
分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。

证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结
PF
∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45°
∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC
A
P
M
C
B
A
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACP=45°
∴⊿ABE≌⊿ACP（ASA）
∴PC=AE，，AP=AE
∴⊿AEF≌⊿APF（SAS）
∴EF=PF
故在Rt⊿PCF中，PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2
例4，如图4，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且∠EBF=45°，BM⊥EF于M，求证：BA=BM 分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE和∠CBF“化散为整”来构造全等三角形。

证明：延长FC到N，使CN=AE，
连结BN
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AC，∠BAC=90°
∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠
CBF=45°
由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE ∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF 又BE=BN，BF=BF
∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC N D F
E C
B A
∴BM=BA
例5、如图6，五边形ABCDE中，AB
＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝
180°。

求证：∠ADE＝∠ADC。

解析：条件中有共点且相等的边AE和AB，可将△ADE以点A为中心，顺时针方向旋转∠
BAE的角度到△AFB的位置，如图7。

这就
使已知条件∠ABC＋∠AED＝180°和BC＋
DE＝CD通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。

由△ADE≌△AFB，得∠AED＝∠ABF，∠ADE＝∠AFB，ED＝BF，AF＝AD。

由∠ABC＋∠AED＝180°，得∠ABC＋∠ABF＝180°。

所以C、B、F三点共线。

又CD＝BC＋DE＝BC＋BF＝CF，故∠CFD＝∠CDF。

由AF＝AD，得到∠DFA＝∠FDA。

∴∠ADE＝∠AFB＝∠CFD＋∠DFA＝∠CDF ＋∠FDA＝∠ADC。

例6、如图，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC的边长。

分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。

解：把△BPA绕B点逆时针方向旋转60°得到△BHC。

因为BP=BH，∠PBH=60°
所以△BPH是等边三角形
所以∠BPH=60°，所以BP=PH32=
又因为HC=PA=2，PC=4
所以
所以△HCP是Rt△，所以∠CHP=90°
又因为HC=2，PC=4
所以∠HPC=30°
又因为∠BPH=60°，所以∠CPB=90°
在Rt△BPC中，
=12+16=28,
BC，那么△ABC的边长为72。

=
2
7
例7、如图2，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？
解：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。

因为BO=BM，∠MBO=60°
所以△BOM是等边三角形，
所以∠1=∠2=60°
又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55°
又因为∠AMB=∠COB=125°
所以∠AMO=65°
又因为AM=OC，MO=BO
所以△AMO正好是以AO、OC、BO为边组成的三角形，所以∠MAO=180°－（55°+65°）=180°－120°
=60°
即：以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。

例8、如图4，P是正方形ABCD内一点，将
△ABP绕点B顺时针方向旋转能与'
∆重合，
CBP
若PB=3，求'PP的长。

分析：将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与
'
∆重合，实际上就是把△ABP顺时针方向旋转90°CBP
可得'
CBP ∆，即=∠'
PBP 90°。

解：因为,'
BP BP ==∠'
PBP 90°。

所以
'PP 2
333222'2=+=+=B P BP 。

例9、如图5，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。

分析：PA ：PB ：PC=1：2：3，
不妨设PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA 、PB 、PC 相对集中起来即把△BCP 绕B 点顺时针方向旋转90°得到△BAE 。

解：因为BP=BE ，∠PBE=90° 所以2
22
22+=PE ，所以22=PE
又在△APE 中，2
22
,3AE PE PA
CP AE =+==
即2
22
3)22(1
=+
所以∠APE=90°
即∠APB=90°+45°=135° 所以∠APB=135°。

例10、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数。

解：把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ=CF 。

因为AQ+AP+QP=2 又AQ+QD+AP+PB=2
所以QD+BP=QP
又DQ=BF，所以PQ=PF
所以FCP
∆
QCP∆
≅
所以∠QCP=∠FCP
又因为∠QCF=90°，所以∠PCQ=45°。

由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力
从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。

11。