《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。
解：（2）P{ X 500 200} 1 P{ X 500 200}
1 P{ 200 X 500 200 } 60 60 60

2
t 2
2
x μ 令 t,得 σ
σ2.
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
5、正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.


y2 2
t
x
2
dt

在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正 态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值， 从而解决概率计算问题。 例2 设随机变量 X ~ N (1,2 2 ) ，试求 P0 X 1.6 解


1.6 1 0 1 P (0 X 1.6) 0.3094 2 2
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量X 的概率密度为 f ( x)
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1 2
第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、标准正态分布的分位数
双侧分位数： 实数
u
的双侧分位数.
2
满足 P X u ，则称
2

X ~ N (0,1) ，对于给定的 (0 1) ，如果

u
2
为标准正态分布关于
( x)
（ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
200 200 1 1 2 1 2 1 3 3
(1) 曲线关于 x μ 对称; ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值
( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点;
1 ; 2 πσ
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布
N ( , ) 的图形特点
dx
1 ( μ σt)e 2π 1 μ e 2π
μ.
t2 2
t2 2
dt
t2 2
σ dt te 2π
dt
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
D( X ) ( x μ ) 2 f ( x ) d x

图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
u
u
x
0.05 0.01
u 1.645
u 2.326
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3
某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
2
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、正态分布的分布函数
1 F ( x) 2πσ

x

e

( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布分布函数图形演示


1 x e 2 πσ

( x μ )2 2σ 2
d x.
x μ 令 t x μ σ t, σ
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
所以
1 E( X ) x e 2πσ

( x μ )2 2σ 2
解：（3）要求P{ X x} 0.1, 即要求1 P{ X x} 0.1， x 500 1 即需 0.1 60
x 500 0.9 1.282 60
x 500 因 为单调不减函数，故需 1.282 60
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
1 e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2、正态概率密度函数的几何特征
( x )
x

1 e 2π
t2 2
d t , x .
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
标准正态分布的图形
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2、标准正态分布的概率计算
x
分布函数
1 ( x) PX x e dt x R 2 ( x ) 1 ( x) P a X b (b) ( a )
x 576.92
即当x 576.92时，才能使P{ X x} 0.1。
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例4 将一温度调节器放置在 贮存着某种液体的
容器内 . 调节器整定在 d C , 液体的温度 X (以 C 计) 是一个随机变量 , 且X ~ N ( d , 0.5 2 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80 C 的概率不 低于 0.99 , 问 d 至少为多少 ?
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、 正态分布的期望与方差
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
则有
E ( X ) xf ( x ) d x
解 (1) 所求概率为
89 90 P{ X 89} (2) 1 (2) 0.5
标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示 . 双侧分位数的计算方法： 由定义知 (u ) 1
2


2
查标准正态分布函数值表便可得
2
u
u
2
2
2
u
图1
2
x
也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。 0.10 u / 2 1.645
0.05 u / 2 1.96 0.01 u / 2 2.576
21 0.9996 0.0008
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.


1 ( x μ) e 2 πσ
2
( x μ )2 2σ 2
d x.
σ 2 D( X ) t e dt 2π t2 t2 2 σ 2 2 te e dt 2π 2 σ 0 2π 2π
解：已知X ~ N (500,602 )
（ 1 ）P{ X 560} 1 P{ X 560}
X 500 560 500 1 P{ } 60 60
560 500 1 60
1 1
1 0.8413 0.1587
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
6、正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数
1 e P{ X x } F ( x ) 2 πσ
( t μ )2 x 2σ 2
dt
?
方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算
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(0.64) 0.7389 (0.84) 1 (0.84) 0.2005
第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、一般正态分布的概率计算x (t ) 1 2 分布函数 F ( x) P X x e
2
2
y
x 1 ( ) e dy 2 b a P a X b ( ) ( )
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ 和σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布