第十三章非正13—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。

解：f(t) 在第一个周期(πω21=T )内的表达式为题13-1图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---+--=)()()()(111πωαπωαπωαπt E t E t E t f m mm πωααωααωπ≤≤≤≤--≤≤-t t t 111显然,f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为∑∞=++=1110)cos cos ()(k k kt k b t k aa t f ωω由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有0,00==k a a 。

而 b k =)()sin()()()]sin()([21111110t d t k t a E t d t k t aE am am ωωπωπωωωππ--+⎰⎰=⎭⎬⎫+--++-⎩⎨⎧a t k kt k k t t k k a E a t k k t k k t a E m m πωωωωππωωωπ)]sin(1)cos()cos([0)]sin(1)cos([2121111211=ka a a k E m sin )(22-π (k=1,2,3…….)13—2 以知某信号半周期的波形如图所示。

试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：（1）a0=0; (2) 对所有k，bk=0;（3）对所有 k，ak=0;（4）ak和bk为零，当k为偶数时。

解：（1）当a=0时，在后半个周期上，只要画出f(t)的负波形与横轴（t轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。

以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。

题13-2图（a）（b）（c）题解13-2图（2）对所有k,bk=0,f(t)应为偶函数，即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。

（3）对所有 k,a k =0,f(t) 应为奇函数，即f(t)= -f(-t), 波形如图（b ）所示，波形对称于原点。

（4）a k 和 b k 为零，当k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 a k 和 b k 只出现在k 为奇数时，函数f(t) 满足镜对称性质，即有f(t)= -f(t+2T ) , 波形如图（c ）所示。

注：13—1和13—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。

充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。

需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。

13—3 一个RLC 串联电路。

其R=11Ω,L=0.015H ,C=70μF , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。

解： RLC 串联电路如题解13—3图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。

可写出电流相量的一般表达式()()())1()(..Ck L k j R U Z UI k k k k ωω-+==其中 ,ωL =15Ω,Cω1=14.286Ω .电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：（1） 直流 0U =11V 作用时，电感L 为短路，电容 C 为开路，故，I 0=0 , 0P =0 。

（2） 基波 (k=1)作用时，令.U =10000∠VZ )1( = R+j(ωL — Cω1) =（11+j0.714）Ω =11.023071.3∠Ω 故 ()1.I =)1()1(Z U =71.3023.110100∠∠ =9.072071.3-∠ AP )1( = I 2)1(R = 905.28 W（3）二次谐波 (k=2) 作用时，令)2(U =09024.35∠=25.032090∠VZ )2(=R +j(2ωL — Cω21) =11 +j(30 —21⨯14.286) =25.366Ω∠03.64故 )2(I =)2()2(Z U =03.64366.2590032.25∠∠ = 0.98707.25∠ AP )2(=I 2)2(R =(0.98)2⨯11 = 10.716 W 所以，电路中的电流 i (t) 为i (t) = 0 +⨯29.072 cos (1000t — 3.710) +⨯20.987 cos (2000t + 25.70) = 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率P = 0P +)1(P +)2(P = 905.28 +10.716 = 916 W 13—4 电路如图所示，电源电压为S u (t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。

解：设电流i (t) 第 k 次谐波的向量为)(k m I (采用复振幅相量)。

（1）当 k = 0 ，直流分量U 0= 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有Z 0 =R +R 1 = 60 Ω ，故I 0=0Z U =6050=65 AP 0s = U 0I 0 = 50⨯65= 41.667 W（2）当 k=1 ，即 ϖ=1ϖ=314s rad , 基波向量 )1(sm U = 100090-∠ V 作用时，有 Z )1( = 10 + j3.14 +4.315010157.01j j ++= 71.267 031.19-∠ Ω故)1(m I =)1()1(Z U sm =31.19267.7190100-∠-∠ = 1.403069.70-∠ AP )1(s =210)1()1(31.19cos 403.110021)31.19cos(⨯⨯=-m sm I U=66.2 W（3）当 k=2 ，即 s rad 62821==ωω, 二次谐波向量0)2(040∠-=sm U V 作用时，有Z Ω-∠=++++=0)2(552.54528.428.625010314.0128.610j j j故A Z U I sm m 0)2()2()2(448.125941.0552.54528.42040-∠=-∠∠-==)2()2(21sm s UP =W Im 915.10552.54cos 94.04021)552.54cos(0)2(=⨯⨯⨯=-（4）当k=3，即s rad 94231==ωω，三次谐波相量()VU SM ︒-∠=70103.作用时，有()Ω︒-∠=++++=19.51552.202.945010471.0142.9103j j j Z故()()()()()()WI U P AZ UI m SMS SM m 526.119.51cos 487.01021)19.51cos(2181.18487.019.51552.20701033333.3.=⨯⨯=︒-=︒-∠=︒-∠︒-∠==所以，电流i （t ）为()At t t t i )19.71942sin(487.0)552.54628cos(941.0)31.19314sin(403.1833.0︒++︒+-︒++==电源发出的平均功率s P 为()()()WP P P P P S S S S S 308.120526.1915.102.66667.413210=+++=+++=电源电压有效值()()()V U U U UU SM SM SM S 378.9121024021005022222222322212=+++=+++=电源电流有效值A I 497.12487.02941.02403.1652222=+++⎪⎭⎫⎝⎛=13—5有效值为100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I=10A ，当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100 V 时，得电流 I=8A 。

试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。

解：根据题意，可求得基波时的感抗为=1L Z Ω==1010100L ω故，三次谐波时的感抗为Ω==3033L Z L ω所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式2233211223218100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+L L Z U Z U U U 代入参数值并整理得649100232122321⨯=+=+UUU U解之，得VU V U 64.6314.7710014.7781009006422321=-==-⨯=13—6 以知 RLC 串联电路的端口电压和电流为At t t i V t t t u )]942cos(755.1)314cos(10[)()]30942cos(50)314cos(100[)(30θ++=-+=试求：（1）R,L,C 的值；（2）3θ 的值；（3）电路消耗的功率。

解：RLC 串联电路如图13—6图所示，电路中的电压 )(t u 和电流 )(t i 均为已知，分别含有基波和三次谐波分量。

(1)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波频率下发生串联谐振。

故有Ω===101010011m m I U R且 111X X X c L == 即 )314(11111s rad X CL ===ωωω而三次谐波的阻抗为1111133810)313(10313X jX X j CjL j R Z +=-+=-+=ωω3Z 的模值为Ω===+=49.28755.150)38(10332123m m I U X Z解得 1X 为Ω=⨯-=004.10649)1049.28(221X故FX C mH X L μωω34.318004.103141186.31314004.10.1111=⨯=====（2）三次谐波时，3Z 的阻抗角为01345.69668.2arctan 1038arctan ===X ϕ而3033330θφφϕ--=-=i u 则030345.9930-=--=ϕθ （3） 电路消耗的功率 P 为WP 4.51545.69cos 755.1502110100210=⨯⨯+⨯⨯=13—7图示电路各电源的电压为Vt u V t t u V t t u V t u Vt t u V U )sin(210)]5cos(210)cos(280[)]3cos(220)cos(230[)3cos(250)]5cos(220)cos(2100[6015114113121110ωωωωωωωω=+=+==+==3u（1） 试求;,,,,af ae ad ac ab U U U U U（2） 如将 0U 换为电流源 )7cos(221t i s ω= ，试求电压ag ae ad ac U U U U ,,,（ab U 等为对应电压的有效值）。