银行排队现象分析讨论银行排队现象的排队论分析一简介排队问题是与我们的生活息息相关的一项理论。
无论是有形的还是无形的排队问题，都随时随刻地伴随着我们生活的每一天。
银行排队现象近年来长期存在。
客户在办理业务时要付出额外的时间成本，这给社会民众的日常生活带来了许多不便。
2007 年5 月，中国人民银行出台了《关于改进个人支付结算服务的通知》，要求银行采取措施，进行整改。
情况有所改善，单银行排队等候时间依然过长。
众所周知，随着我国经济的发展、人民生活水平日益提高，社会对金融服务的需求越来越强。
在金融业飞速发展的今天，银行排队现象值得我们关注。
二关键词排队论M/M/N M/M/1 泊松分布Markov链三问题描述在银行排队等候办理业务的人数量服从参数为λ的泊松分布，每个人办理一份业务。
并行办理业务的业务员有r个，每位业务员任何时刻只能服务一个客户、不能同时服务两个或两个以上，不同的业务员办理业务的时间长度相互独立，且都服从参数为μ的负指数分布。
客户到达服务窗口的过程与业务员办理业务的过程相互独立。
通常有两种排队方式：A：排成一个大队列。
只要在某位业务员空闲，他就给排在队列中的第一位客户办理业务。
新到达的客户排到队尾，直到排在他前面的所有客户都办完业务后，他才有资格办理业务。
按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户按照先到先得的原则排一个大队列。
B：自选排成多个队列。
每个业务员前面各排成一个队列，业务员只负责自己队列中的客户。
新到达的客户自行选择排哪一队列。
按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户排成了r个队列。
进行比较确定哪一种排队方式更节省时间。
四模型首先，给出一般的排队论的数学模型，框图如下：顾客源排队（排队规则）服务窗（服务规则）对于，描述部分的两种排队问题，分别建立其数学模型。
对于A排队方式，作如下假设：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户排成一路纵队，后到的客户自动拍到队尾；一共有r个服务窗口，每个服务窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，各个服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与客户的到来之间也是相互独立的。
而每一个客户到来后关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后我们要分析的是队伍中的等待时间。
对于B排队方式，作如下两种假设。
第一种假设记为B1：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户在食堂排成r路纵队，每位客户到来后，随机等概的选择一个队伍并排在该队队尾；一共有r个服务窗口，每个服务窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，每个服务窗口只为其对应的队列服务，各服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与顾客的到来之间也是相互独立的。
而每一个顾客到来后，关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后要分析的为队伍中的等待时间。
第二种假设记为B2：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户排成r路纵队，每位客户到来后，选择最短的一个队伍并排在该队队尾；一共有r个服务窗口，每个窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，每个服务窗口只为其对应的队列服务，各服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与顾客的到来之间也是相互独立的。
而每一个顾客到来后，关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后要分析的为队伍中的等待时间。
五理论Ⅰ、排队系统简介众所周知，研究排队问题的相关规律，使设计人员掌握这种规律，设计出最优化的排队系统，对生产和生活都有很好的指导作用。
从排队问题的系统框图我们可以看出，排队问题有三个基本的参数：输入过程、排队规则、服务窗。
对于输入过程：顾客到达的时间间隔可以分为确定型和随机型两种；顾客源可以分为有限和无限两种情况；顾客到达可以为任意分布。
对于排队规则，可以分为损失制、等待制、混合制三种。
所谓损失制，即顾客到达系统时，如果系统中所有的服务窗口均被占用，则到达的顾客随机离去；所谓等待制，即顾客到达系统时，如果系统中所有的服务窗口均被占用，则系统能提供足够大的排队空间让顾客排队等待；所谓混合制，即损失制和等待制相结合，系统只能提供有限大的排队空间，其余的顾客必须离开。
服务规则可以分为先到先服务（队列式）、后到先服务（堆栈式）、随机选择服务、优先级服务（优先级队列）四种情况。
而对于服务窗来说，可以使单个或者多个；当服务窗口是多个时，顾客可以平行多对排列，也可以是串列或者串并同时存在的混合队列；一个服务窗口可以同时为单个顾客或者成批顾客服务；各个窗口的服务时间可以使确定型或者随机型的，各窗口的服务时间之间可以是相互独立的，也可以是彼此相关的。
但一般服务时间都是平稳的，即与服务的起始时间无关。
而衡量一个排队系统的性能指标有很多：1.系统内的客户数的分布及相应的均值L S2.系统内排队等候的客户数的分布及相应的均值L q3.正在接受服务的客户数的分布及相应的均值L f4.客户在系统内停留时间的均值T s5.客户在队伍中排队等待时间的均值T q6.客户接受服务的时间的均值T f可以从上述几个性能指标中得到很直观的结论：T s=T q+T f ；L S=L q+L f 通常，为了方便表示，用X/Y/Z/m/k来表示排队模型。
X表示客户相继到达系统的间隔时间t的概率分布类型；Y为服务窗口所耗费的服务时间τ的概率分布；Z为并行工作的服务机构内的服务窗口的个数；m表示系统内允许的最大排队长度。
例如，M/M/r 表示客户到来的时间间隔服从负指数分布，每个窗口的服务时间服从负指数分布，共有r个服务窗口的排队系统。
Ⅱ、Markov 链生灭过程简介生灭过程是真对齐次Markov 链的一步状态转移过程。
以连续时间的生灭过程为例，设队列有k 人时的状态记为k 状态。
在△t 时间内，状态可能从k 状态跳到 k+1 状态、或者跳到k-1 状态，或者保持k 状态不变。
假设，从状态i 跳到状态j 的概率为P ij(△t )，则一步状态转移矩阵为P⋯⋯⋯=0)(23)(22)(2100)(12)(11)(1000)(01)(00t p t p t p t p t p t p t p t p t P ）（ 状态转移矩阵P ，其每行的行和为1。
如果只有一个状态只能减一，不能加一。
同理，第一个状态只能加一，不能减一。
而由K —C 前向方程P （△t ）=P （△t ）Q ，P ij （△t ）=∑P ik （△t ）q kj 可知，q ij =p ij （0）。
其中，Q 矩阵称为密度矩阵，或者瞬时概率转移矩阵。
对于Q 矩阵，不难得出每行行和为0。
我们定义λi 为i 状态下的增长率，λi =q i,i+1 。
定义μi 为i 状态下的消亡率， μi =q i,i-1 。
可以知道，q ij =0，if |i-j|≥2 。
而Q 矩阵的行和为零，我们得到q ij =−（q i,i+1 +q i,i-1 ）=−（λi +μi ）。
对于泊松过程来说，p i,i+1 （△t ）=λi △t+o （△t ）；p i,i-1（△t ）=μi △t+o （△t ）;q i,i+1=λi ; q i,i-1=μi ; q ii =−（λi +μi ）。
故对于一步状态转移过程来说，对应的Q 矩阵为Q= 1113)3(-322)2(-211)1(-100----⋯⋯+++-m m m μμλμλμλμλμλμλμλλ 而由连续Markov 链的平稳分布可知，平衡方程μi πi =λi-1πi-1 。
其i 为i状态时对应的分布。
Ⅲ、M/M/1 模型及其求解这里只推导单服务窗口等待制M/M/1模型。
设客户到达的速率为λ，服务的速率为μ，记k 状态为队伍里有k 个人等待时的状态。
则，k 状态时的客户到达率为λk =λ，k 状态时的服务率为μk =μ。
设 k 状态时的概率为p k ，则由平衡方程可知μk p k =λk-1p k-1 ，进一步得出p k =λk-1p k-1 /μk 。
由递推法得出p k =（λ/μ）k p 0 , 由概率的归一化条件∑p k =1=∑（λ/μ）k p 0 求得p 0=μ-λ/μ 。
求得队伍中等待的客户数的均值为 L q =∑（k-1）p k =（λ/μ）2/（1-λ/μ） 由此求得客户需要排队等待的时间的均值为T q =L q /λ =）（）（λμμλλμλμλ-/-1/2=。
Ⅳ、M/M/r 模型及其求解根据本次内容，推导多服务窗口等待制M/M/N 模型。
设客户到达的速率为λ ，服务的速率为μ ，窗口数为N ，记k 状态为队伍里有k 个人等待时的状态。
则k 状态时的客户到达率为λk =λ ，k 状态时的服务率为μk =⎩⎨⎧≥<NK N N k ,k ,μμ 设k 状态时的概率为p k ，则由平衡方程可知，μk p k =λk-1p k-1 ，进一步得出p k =11k --k kp μλ 。
由递推法得出p k =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<-N k N N p N k k p N k k k ,!)/(,!)/(00μλμλ ，由概率的归一化条件∑∑∑∞=--=+==Nk N k N k k k N N p k p p !)/(!)/(1k 0100k μλμλ 求得 1100)!)/((!))/(1()/(--=∑+-=N K kN k N N p μλμλμλ 。
求得队伍中等待的客户数的均值为 })!1()/()/())/(())/((!!)/()()(20100q --=-⎩⎨⎧=-=-=+∞=∞=-∞=-∞=∑∑∑∑N N p N N N k N N p N N p N k p N k L N Nk k N k k N N k N k k N k k μλμλμλμλμλ 由此求得客户血药排队登对的时间的均值为)!1()/()/(!))/(1()/(20201q --=-==+N N p NN N p L T N N qμλμμλμλλμλλ六 方法及算法1、A 排队方式理论推导A 排队方式在稳态时符合M/M/r 模型，由上述推导公式可以得出，客户的平均等待时间110220q )!)/(!))/(1()/(()!1()/()/()!1()/()/(--=∑+---=--=r k kr r r k r r r r r r p T μλμλμλμλμμλμλμμλ 2、B 排队方式的B 1假设 的理论推导由分类泊松过程可知，对于B 排队方式的B 1假设，客户的到来服从参数为λ的泊松分布，其概率母函数求得为)}1(t exp{-=Φjw e w λ）（，而每个人一等概1/r 的概率选择r 个队伍中的一个，因此任意一个队伍的人数计数也是一个泊松过程，以为其概率母函数为 )}1(exp{)}111(exp{)w (-=--+=Φjw jw e t rr r e r t λλ 即每个队伍的人的到达情况服从参数为λ/r 的泊松过程，其符合M/M/1 模型，但是客户的等效到来率为λ/r ，所以客户的平均等待时间为)()/(/λμμλλμμλ-=-=r r r T q 3、B 排队方式的B 2假设由于R 个队伍的长度存在很大的耦合性，因此，没能在理论上求得其平均等待时间，可以使用matlab 模拟仿真中求出此结果。