-中心极限定理在保险业务中的应用中心极限定理在保险业务中的应用学生姓名：许红红指导教师:赵连阔一、引言保险是以合同的形式来确定双方经济关系，以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金，对保险合同规定范围内的意外所造成的损失，进行经济补偿或给付的一种经济形式。

保险费是根据数理统计原理进行制定，对未来发生的成本进行预测和估算，将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。

为避免和减少未来风险因素带来的经济损失，保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。

在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力，这些随机因素是相互独立的，且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。

这些随机变量都通常近似服从正态分布。

这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。

二、中心极限定理结合上文中心极限定理的产生的客观背景，我们给出中心极限定理的具体内容。

我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。

但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布的正态近似）和林德贝格—勒维中心极限定理（独立同分布下的中心极限定理）。

(一)德莫弗——拉普拉斯定理 设n重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中，事件A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<，记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记*n Y =，其中1.q p =-则对任意实数y ，有{}()2*2lim .t yn n P Y y dt y -→+∞≤==Φ⎰这个定理可以说是二项分布的近似正态分布，当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。

即(),A B n p :，其中1q p =-，则当n 很大时，有()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 *n Y则对任意实数y ，有*lim ()n n P Y y ϕ→+∞≤=22()t yy e dt --∞=.此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛，它只假设{}n X 独立同分布、方差存在，且是随便变量的序列，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近。

于是有：（1）当n 充分大时，随机变量序列()0,1niXn N μ-∑；（2）当n 很大时，独立同分布的随机变量i X 的和1ni i X =∑近似服从正态分布()2,N n n μσ.以上定理适用于那些可以看作由许多微小、独立的随机因素作用的总结果，而每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量，一般都可以近似地服从正态分布的理论依据，因而正态分布在理论意义上和应用上都具有极大的重要性。

三、中心极限定理的应用我们了解到保险主要是对死亡、事故等所造成的经济损失而进行的一种赔偿，同时这些因素对保险公司的影响是相互独立分布的，那么究竟如何利用中心极限定理来进行经济估算与预测呢？ (一)保险学的概率论数学原理保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想。

在生活中比如从事煤矿井下生产作业的工人有很大的生命风险，这就需要有风险单位来计算发生危险后的赔偿金额。

风险单位在保险中是指发生一次风险事故可能造成的人或事物的最大损失范围。

风险单位也是风险独立的单位，这就使保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费。

且根据中心极限定理，符合正态分布是含有n 个风险单位的随机样本的平均损失，这个结论对保险费率的制定非常重要。

保险公司对各险种的收费标准是以同期银行利率进行参照，再经过核算后而制定的，所以保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费率的基础上也应尽可能地多承保风险单位，有足够的资金赔付保险期内发生的索赔，从而使保险公司运营更加平稳，也就越有利于投保人和被保险人。

(二) 保险公司的偿付能力在估算保险公司的偿付能力之前我们先来了解保险费的结构。

2.1保险费的结构保险费=纯保险费+附加保险费。

纯保险费是指用于投资未来风险的预期赔偿金额。

附加保险费指各种业务费用、预计利润、安全费等。

从保险费的结构中可知：纯保险费是用于投资风险发生的赔偿和给付，且纯保险费的预算受到未来风险大小的影响，但附加保险费不受任何风险的影响，因此纯保险费直接关系到保险公司的偿付能力。

下面我们来建立一个数学模型：设X 为某一定时期内保险人所面临的总赔偿量,且X 为一随机变量。

设该时期内共有n 个投保人，每个投保人投保风险的索赔量分别为1,,n X X K ，则有1n X X X =++K .即保险人的总损失为n 个个体损失之和，保险人承保风险X 所收取的保险费为()E X （暂不考虑利息的影响）。

假设：1,,n X X K 相互独立且具有相同的分布，即保险人承保n 个同质风险是彼此互不影响的。

在此期间，没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人中途退保，则n 为固定常数。

当保险公司承保量n 充分大时，由中心极限定理可知随机变量X E X -近似正态于()0,1N ，这样我们就可简化相关的运算。

设α为可靠性系数，k 为一常数（预期赔款金额），则保险公司以α的概率保证实际发生的损失不超过预先确定的数k ，用数学式子表示()P X k α≤=， 它等价于X E X k E X P α⎛⎫--≤=.2.1偿付能力的应用1.安全附加量与偿付能力由于纯保险的估算受到未来风险大小的影响,造成与实际赔付间的偏差,保险公司须在事前处理好这些偏差，因此安全附加量则在实际估算纯保险费起到了重要的作用。

安全附加量就是为了预防偏差而加收的风险保费，一般表示为()E X λ，其中λ为安全附加系数，()E X 为赔款总额的期望值。

举例来说明λ的求法。

例 1 某保险公司承保了1000份同质保单，每份保单的保险金额为1000元，其发生索赔的概率为0.2.如果保险公司在签单时，希望有95%的把握应付赔付，那么在初始保险费中应含多少安全附加量？ 解设X 为所以保单总的赔偿量，有1000个人投保，且这1000个人是互不影响且独立同分布的随机序列令11000X X X =++K ,()0,1X nE X N -:，也()0,1X E X N -:.()()i i E X X 其中，为每份保单的赔款期望，Var 是其方差,1000n =,则()10000.2200i E X =⨯=，()()10000.210.2160000i Var X =⨯⨯-=()1,2,...,1000i =则1000份同质保单的总赔款期望和总方差：()()200000,160000000E X Var X ==由上可知总的保险费=纯保险费+安全附加量，由于保险公司希望以95%把握应付，由()()(),1P X k k E X αλ≤==+且,0.95α=,则()()()10.95P X E X λ≤+=,利用X E X k E X P α⎛⎫--≤=即可得0.95X E X E X P ⎛⎫-≤=. 查标准正态分布函数表得20.95E X =,解出0.1040λ=，则安全附加量()20800E X λ=元。

2. 责任准备金与偿付能力从安全附加量与偿付能力关系看到，安全附加量对提高保险公司的偿付稳定性有着非常重要的作用。

为了保证保险公司在赔偿时有足够的责任保证金，保险公司在每年年终结算时，会从保费的收入和利润中提前存留。

下面就以实例来说明责任保证金与偿付能力的关系。

例 2 某保险公司承保了同质风险保单1000份，每份保单的保险金额10000元，其发生索赔的概率为0.01，安全附加系数为0.1.如果保险公司希望以95%的概率确保它能履行赔付责任，它应该有多少责任准备金？ 解设H 为保险公司的责任保证金，X 为所有保单的总赔偿金.令X 11000X X =++K ，有1000个人投保,则他们之间相互独立且为同分布的随机变量序列,根据独立同分布中()0,1X nE X N -:,()0,1X E X N -:.其中()i E X 为每份保单的赔款期望,()i Var X 为其方差,1000n =.则()100000.01100,i E X =⨯=()()()100000.0110.01990000,1,2,...,1000i Var X i =⨯⨯-==1000份同质保单的总赔偿和总方差为:()()100000,990000000E X Var X ==总的保险费=纯保险费+安全附加量+责任保证金,由于保险公司希望以95%的把握应付,又有(),P X k α≤=且()()1k E X H λ=++,0.95α=,则有()()()10.95P X E X H λ≤++=利用X E X k E X P α⎛⎫--≤=，即P0.95X E X E X H λ⎛⎫-+≤=,查标准正态分布函数数值表，则有1.645E X Hλ+=将上述数值代入，解得41758.72H =元。

保险公司偿付能力既是衡量一个保险企业能否履行保险合同规定的义务、承担赔偿责任的标准，它是保险企业管理的核心，也是国家对保险企业监管的核心。

(三) 保险公司的预期利润与盈亏保险公司是一个从事对损失理赔的行业，它最关心的是一个公司的盈亏状况，也就是实际损失与预期损失的偏差。

在计算保险公司的盈亏时 ，我们先来看看保险公司的预期利润如何计算。

3.1 全国机动车辆车险的预期利润与盈亏我们来以2005年的全国机动车辆的车险为例，在研究此例之前，我们来看个保险名词--第三责任险。

第三责任险是指保险车辆因意外事故致使第三者遭受人身伤亡或财产的直接损失，保险人依照保险合同的规定强制性给予赔偿的商业第三者责任保险。

第三责任险的保费按投保时事故最高赔偿限额选择对应的固定保费进行收取。

固定保费根据车辆种类和使用性质确定，对应每一档次有相应的标准的固定保费。

如表1所示。

表1 2005年全国机动车辆基本险统一费率表2 人保家庭自用车第三者责任险费率表（方案A）注：式中A指第三责任险费的同档次限额为100万元；()N=限额100万元万元，限额是50万的倍数，且不多于1000万元。

-50以表2为例，假定有10000个车主购买同档次限额的人保家庭自用车第三责任险，设ξ表示一年内该公司上述投保人因车祸造成第三者死亡的人数，则人保公司在该业务的预期利润（暂且不考虑免赔率）可由下式计算：预期利润=10000-ξ保费相应限额.⨯⨯由此得到下面人保家庭自用车第三责任险预期利润表3和预亏表4.表3 人保家庭自用车第三责任险预期利润表（方案A）表4 人保家庭自用车第三责任险预亏表(方案A)由表3可知,当死亡人数613ξ≤≤，随着限额(不超过20万元)的逐渐增大，预期利润也逐渐增大；当限额为20万元时，保险公司的预期利润达到最大;然后随着限额(超过20万元)的逐渐增大，预期利润会逐渐减少。