关键词 傅立叶变换 电力系统 谐波 中图分类号 TM714
FFT ALGORITHM WITH HIGH ACCURACY
FOR HARMONIC ANALYSIS IN POWER SYSTEM
Zhang Fusheng Xian Jiaotong University Xian,710049 China
当K＝1时，选用海宁窗，可以算出 代入公式(16)可以得出复幅值
(21)3)
当K＝2时，选用布莱克曼窗，可以得到
(24)
(25)
求出λ在0和1之间的根后，利用(14)式可算出频率fm，利用公式(16)可算出幅值Am，并利用公式(24)计算相位φm。 当K＝3时，选用布莱克曼-哈里斯窗，可以得到
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电力系统谐波分析的高精度FFT算法
2009-11-09 11:35
原文出处：/periodical/periodical.articles/zgdjgcxb/zgdj99/zgdj9903/990315.htm
以下提供一组计算实例，信号幅值为电力系统实测谐波参数，相位参数为自拟，基波为50Hz工频，采样频率为300 0Hz，数据长度为1024采样点：
Tab.1 Parameters of harmonic signal
表1 谐波信号参数
谐波fk 基波 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次 九次 十次 十一次 幅值Ak 240 0.1 12 0.1 2.7 0.05 2.1 0 0.3 0 0.6 相位φk 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° - 80° - 100°
(3) xm(t)的傅立叶变换为xm(ω)＝Am2πδωm(ω)，即在ωm处有一条单一的谱线。矩形窗的傅立叶变换为
(4) 根据傅立叶变换的乘积定理， m(t)的傅立叶变换为xm(ω)和WT(ω)的卷积
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若不计相位的变化， m(ω)的幅值如图1所示。可以看出 m(ω)已不再是单一的谱线，而是分布在整个频率轴上， 这就是说能量不再集中，即产生了泄漏现象。谐波分析中，各次谐波所泄漏的能量会相互影响，造成误差。
电力系统的谐波分析，通常都是通过快速傅立叶变换(FFT)实现的。然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象，使算出的 信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差很大，无法满足准确的谐波测量要求。为了提高FFT 算法的精 度，V.K.Jain 等提出了一种插值算法，对FFT的计算结果进行修正，可以有效地提高计算精度。在此基础上，T.Grand ke 又利用海宁( Haning)窗减少泄漏，进一步提高了计算精度。
α＝－［－12.914＋1.223(λ2－1)－0.2836(λ－1)4］(λ＋3)/［(0.2836λ4－1.223λ2＋12.914)(λ－4)］(26)
其余参数计算过程同上。
6 模拟分析结果
加窗插值方法具有很高的精度，尤其是在以下两个方面：一是对于相位的计算。FFT所算出的相位误差很大，根本 无法用于谐波分析。而该方法使相位精度得到显著提高，因而使得谐波分析、阻抗计算有了切实的依据。二是能够有 效地抑制谐波之间，或杂波及噪声的干扰。即使对于幅值较小的偶次谐波，在FFT中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹 没，该方法也能准确地算出其各项参数。
由于通常N都取得较大(N≥1024)，而且λ<1，因此可以做以下近似
利用公式(16)和(17)，即可求出K值时插值点的准确的λ值。 将λ代入公式(14)，即可得到准确的频率fm。将λ代入公式(16)，即可得到准确的复振幅Am，从而求出准确的幅值｜
Am｜和相位φm。
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为节省篇幅，表2仅列出了用FFT算法及用海宁窗（K＝1）和布莱克曼-哈里斯窗（K＝3）时的计算结果，图4 给出 了计算误差曲线。可以看出FFT的结果误差大，尤其是相位的计算结果根本是不可用的。加窗后精度提高了三、四个数 量级，而当K＝3时精度最高，尤其是相位计算准确，完全可以满足电力系统谐波分析的要求。
设信号为单一频率信号
xm(t)＝Amejωmt(1)
矩形窗为
(2)
持续时间为T的信号相当于xm与wT的乘积
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(10)
不同K值和系数ak决定了不同的窗，K＝1时，a0＝0.54，a1＝0.46，为哈明窗，a0＝a1＝0.5为海宁窗；K＝2，a0＝ 0.42，a1＝0.50，a2＝0.08时为布莱克曼窗。
图3给出了K＝0、…、3时窗的对数频谱。可以看出，当K增大时，旁瓣衰减增大，因而能够更好地抑制泄漏，同时 也可看到主瓣宽度随K值而增加，因而K值也不宜选得太大。 Fig.3 The logarithm spectrum of the window functions 选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频 谱计算。通常信号加窗都是在时域进行的，即xw(t)＝x(t)w(t)，然后进行傅立叶变换。而对于余弦窗，可以先对信号 进行傅立叶变换，然后在频域进行处理。设离散信号x(n)的频谱为X(θ) ，则由公式(10)可以得出
KEY WORDS Fourier transform Electric power system Harmonic
1 引言
近年来，随着电力电子技术的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，已成为影响电能质量的公害，对电力系统 的安全、经济运行造成极大的影响。所以对电网中的谐波含量进行实时测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于 防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。
插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，而谐波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。
3 余弦窗的特性
余弦窗的一般表达式为
图2 x(n)的离散频谱
(7) 式中 K是余弦窗的项数。K＝0时，就是矩形窗。为了满足插值计算的需要，对系数ak有如下限制
设幅值为1的矩形窗为w0(n)＝1，n＝0，1，…，N－1，它的离散傅立叶变换DFT称为狄里克来核(Dirichlet)
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(9)
余弦窗的特点是它的DFT表达式很简单，可以表示为狄里克来核的代数和
fm＝(l＋λ)Δf 0≤λ<1 (14)
则当λ<0.5时，｜X(l)｜取得极大值；当λ>0.5时， ｜X(l＋1)｜取得极大值，并且由(13)式得到
Xm(l＋n)＝AmD(n－λ), n为整数 (15)
此式代入(11)，得到加窗信号的频谱在整数采样点的数值为
设定如下系数
(17) 式中 Xmw(l)和Xmw(l＋1)是相邻的两个峰值点。
Fig.1 The leakage of spectrum
对于离散傅立叶变换(DFT)来说，从频率的离散化得到
图1 泄漏的产生
(6) 式中 Δω＝2π/T。离散化的频谱如图2所示。
Fig.2 The discrete spectrum of x(n)
从图2可以看出，如果不是整周期采样，即信号ωm不是Δω的整倍数，那么即使信号只含有单一频率，DFT也不可能 求出信号的准确参数，这一现象通常叫做栅栏效应。
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5 插值公式
下面讨论K＝0,…,3时的插值公式。 当K＝0时，由于窗系数ak不满足公式(8b)，我们须对公式(17)做些修正，令
从而可求出 频率仍用(14)式，幅值用(16)式得到
(18) (19)
相位计算可用下式
(20)
海宁窗w(n)＝0.5－0.5cos(2πn/N) 是一种余弦窗，它仅包括两项。如果增加余弦项的项数，可进一步减少泄漏。 本文分析了多项余弦窗的特性，并提出了对加窗后信号进行插值的算法。该算法能极大地提高FFT计算的精度，从而满 足谐波测量中对谐波参数的精度要求。文中给出了计算实例，实例表明该算法具有很高的计算精度，即使对于幅值很 小的偶次谐波也能准确地求出其各项参数，尤其是对于提高相位计算的精度更为明显。
2 离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应
在谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。设待测信号为x(t)，采样间隔为Δt秒， 采样频率fs＝1/Δt 满足采样定理，即fs大于信号最高频率分量的两倍。则采样信号为x［n］＝x(nΔt)，并且采样信号 总是有限长度的，即n＝0，1，…，N－1。也就是说，所分析的信号的持续时间为T＝NΔt，这相当于对无限长的信号做 了截断，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。
图3 窗函数的对数频谱
(11)
这一特点便于我们导出下面的插值方法。
4 插值方法
为简便起见，设采样间隔Δt＝1，DFT的频率分辨率Δf＝1/T＝1/(Δt．N)＝1/N。对于单一频率信号
xm(t)＝Amej2πfmt(12)
可以得出
(13)
对于离散频谱，θ仅能取0…N－1 之间的整数值。设fm在频率lΔf和(l＋1) Δf之间，l为整数，即
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