数字信号处理实验一：信号及系统的谱分析学号 姓名注：1）此次实验作为《数字信号处理》课程实验成绩的重要依据，请同学们认真、独立完成，不得抄袭。
2）请在授课教师规定的时间内完成；3）完成作业后，请以word 格式保存，文件名为：学号+姓名4）请通读全文，依据第2及第3 两部分内容，认真填写第4部分所需的实验数据，并完成实验分析。
5）需将这次实验的内容给出一个纸质报告（31-40号）。
全体将报告的电子版交给班长以便实验结束后刻成光盘1. 实验目的(1) 熟练利用DFT 计算公式对信号进行谱分析， 加深DFT 算法原理和基本性质的理解。
(2) 利用卷积方法计算信号经过离散系统输出响应，并观察输出信号的频谱变化。
(3) 熟悉FFT 算法原理和FFT 子程序的应用，掌握利用函数fft.m 对离散信号及系统响应进行频域分析。
(4) 理解并掌握利用FFT 实现线性卷积的方法。
了解可能出现的分析误差及其原因， 以便在实际中正确应用FFT 。
2. 实验原理与方法1）离散傅里叶变换（DFT ）的基本原理离散傅里叶变换（DFT ）是分析有限长序列频谱成分的重要工具，在信号处理的理论上有重要意义。
由于其可以在计算机上实现谱分析、 卷积、相关等主要的信号频谱分析过程，因此DFT 的快速算法得到了广泛的应用。
实现DFT 的基本计算公式如下：2）系统响应信号的时域分析（卷积运算）离散信号输入离散系统后，若系统起始状态为0，则系统的响应输出是 其方框图表示如下：图 1[][]∑∑-=--=====110)(1)()()()()(N k nk NN n nkNWk X Nk X IDFT n x W n x n x DFT k X []x n [][][]zs y n h n x n =*离散系统 h （n ）[][][]zs y n h n x n =*在matlab 中 计算卷积的函数为y=conv(x,h)。
3）FFT 实现线性卷积的快速计算设一离散线性移不变系统的冲激响应为 ，长度为L 点；其输入信号为 ， 长度为M 点；其输出为 ，长度为M+L-1点。
当满足一定条件 时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，而圆周卷积可用FFT 来计算，从而可以大大提高运算速度。
用FFT 实现线性卷积计算的具体步骤：(1)有限长序列 和 补零值点,至长度为大于或等于M+L-1点，且为 ， r 为整数。
(2)求 ，N 点DFT ，用FFT 快速算法实现; (3)求 ，N 点DFT ，用FFT 快速算法实现; (4)计算 ;(5)求 N 点IDFT ，用IFFT 快速算法完成。
3. 实验内容及步骤某系统的单位样值响应为：)()500()500(15.0sin[)(1001n R n n n h --=ππ，信号x （n ）=（SIN （ω1n ）+COS （ω2n ））R 1023（n ）， 输入该系统后，输出的响应信号为y(n)。
请认真复习离散信号与系统、 线性卷积、 序列的傅里叶变换及性质等有关内容， 阅读上述实验原理与方法，编制2个程序文件完成如下2部分实验内容。
一） 利用函数y=conv(x,h)求解响应信号y(n)（流程图见图2）要求：a ）利用函数y=conv(x,h)求解响应信号y(n)；b) 利用DFT 的计算 公式对x(n),h(n)和y(n)DFT 计算；[]h n []x n [][][]zs y n h n x n =*1N M L ≥+-[]h n []x n 2r()[()]H K DFT h n =[][()]X K DFT x n =()()()Y K X K H K =[][()]y n IDFT Y K =开始写入序列hn ；调用子程序dft.m 计算hk写入序列xn ；调用子程序dft.m 计算xk调用子程序conv.m 计算yn, 调用子程序dft.m 计算yk,相关作图语句图 2在第一个图形框内给出x(n)的波形图和频谱图X(K)，在第二个图形框内给出h(n)的波形图和频谱图H(K)，在第三个图形框内给出y(n)的波形图和频谱图Y(K)；在第四个图形框内给出X(K),H(K)和Y(K)的频谱图，并分析这3张频谱图的关系。
c) 给出程序内容d) 统计程序运行时间T1。
注意： a ）dft.m 为学生自己编写的自定义函数文件，根据DFT 运算的计算公式完成xk=DFT （xn ）功能，xk 为时间序列xn 的DFT 变换xk 。
b ）dft.m 可参考<数字信号处理>教材P117的例题3-6自行理解并修改为函数文件二） 利用FFT 实现线性卷积计算（流程图见 图 3）要求：a ）利用FFT 实现线性卷积计算的步骤编写程序求解y(n)在第一个图形框内给出x(n)的波形图和频谱图X(K)，在第二个图形框内给出h(n)的波形图和频谱图H(K)，在第三个图形框内给出y(n)的波形图和频谱图Y(K)；在第四个图形框内给出X(K),H(K)和Y(K)的频谱图，并分析这3张频谱图的关系。
c) 给出程序内容d) 统计程序运行时间T2。
图 34. 实验数据及分析 实验数据：一、利用函数y=conv(x,h)求解响应信号y(n)1） 将yn1和Xk1、Hk1及Yk1存为dft1.mat 文件上交；2）按要求给出相关的图形xn1和Xk1、hn1和Hk1及yn1和Yk1开始 计算fft 运算所需点数N 写入序列xn 和hn 调用子程序fft.m 计算xk 和hk 相关作图语句结束计算yk=xk.hk调用子程序ifft.m 计算yn020040060080010001200-2-1.5-1-0.500.511.5020040060080010001200100200300400500600X K020040060080010001200-0.050.050.10.150200400600800100012000.20.40.60.811.21.4HK500100015002000250005010015020025030035040045005001000150020002500-1.5-1-0.50.511.53）程序内容：（包括主程序和函数文件dft.m ） clc,close,clear ticn=0:1022;W1=0.065;W2=0.35;x=(sin(W1*pi*n)+cos(W2*pi*n)); figure(1);plot(x);title('xn');XK1=dft(x);figure(2)plot(abs(XK1));title('XK');m=0:1000;wc=0.165;h=wc*sinc(wc*(m-500));figure(3);plot(h);title('hn');HK=dft(h);figure(4),plot(abs(HK));title('HK');y=conv(x,h);Yk=dft(y);figure(5);plot(abs(Yk));title('YK');figure(6);plot(y);tocfunction y=dft(x)% clc;close;clear% x=[1 2 3]N=length(x);n=1:N;k=1:N;nk=(n-1)'*(k-1);WN=exp(-j*2*pi/N);Wnk=WN.^nk;y=x*Wnk;4）运行时间T1=13.719二、利用FFT实现线性卷积计算1）将yn2和Xk2、Hk2及Yk2存为fft1.mat文件上交；2）按要求给出相关的图形xn2和Xk2、hn2和Hk2及yn2和Yk2020040060080010001200-2-1.5-1-0.500.511.55001000150020002500050100150200250300350400450500X K020040060080010001200-0.050.050.10.15050010001500200025000.20.40.60.811.21.4HK500100015002000250005010015020025030035040045005001000150020002500-1.5-1-0.50.511.53）程序内容：（主程序） clc,close,clear ticn=0:1022;N=2048 ; W1=0.065;W2=0.35;x=(sin(W1*pi*n)+cos(W2*pi*n)); figure(1);plot(x);title('xn');XK=fft(x,N);figure(2)plot(abs(XK));title('XK');m=0:1000;wc=0.165;h=wc*sinc(wc*(m-500));figure(3);plot(h);title('hn');HK=fft(h,N);figure(4),plot(abs(HK));title('HK');Yk=XK.*HK;figure(5);plot(abs(Yk));title('YK');y=ifft(Yk,N);figure(6);plot(y);toc4）运行时间T2=0.109实验分析：1 ) 若二）中FFT的点数N取值比L+M-1小，则实验结果是否正确，为什么？2）比较一）和二）两种方法所得结果y(n)长度是否相同，为什么？3）比较运行时间T1和T2，给出两者数值不同的主要原因；4）改变ω1和ω2的值来看结果，并分析所得的结果答：1）不正确，fft运算当满足N>M+L-1时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，否则波形会产生失真。
2）不相同，fft运算的长度应为2的L次方，长度N=2048>dft运算的长度。
3）当满足一定条件N>M+L-1时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，而圆周卷积可用FFT来计算，从而可以大大提高运算速度。