幂函数(第一课时)
课 型：新授课 教学目标：
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 教学过程：
一、新课引入：
（1）边长为a 的正方形面积2
a S =，这里S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长2
1S a =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3
a V =，这里V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度s km t v /1
-=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付w p =元，这里p 是w 的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变） 二、讲授新课：。

幂函数的定义：一般地，我们把形如α
=x y 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数。

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从
它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 试一试：判断下列函数那些是幂函数
（1）x
2.0y = （2）5
1x y = （3）3x y -= （4）2
x y -=
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
【探究二】观察函数1
2
1
3
2
x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结论写在下
表内。

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：2
13
2x y ,x y ,x y ,x y ====的共同性质。

（1） 函数2
13
2
x y ,x y ,x y ,x y ====的图象都过点)0,0(),1,1( （2） 函数2
13
2
x y ,x y ,x y ,x y ====在[)+∞,0上单调递增；
归纳：幂函数α
=x y 图象的基本特征是，当0>α是，图象过点)0,0(),1,1(，且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。

请同学们模仿我们探究幂函数α
=x y 图象的基本特征0>α的情况探讨0<α时幂函数
α=x y 图象的基本特征。

归纳：0<α 时幂函数α
=x y 图象的基本特征：过点)1,1(，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，且向右无限接近X 轴，向上无限接近Y 轴。

例1（P78例1）
．证明幂函数()[0,]f x =
+∞上是增函数
证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则
12()()f x f x -=
因12x x -＜0
所以12()()f x f x <
，即()[0,]f x =+∞上是增函数.
例2. 比较大小：5
.1)1(+a 与5
.1a
；223
(2)a -+与23
2
-
；2
11
.1-
与2
19
.0-
.
三、巩固练习：
1、论函数3
2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
2. 比较下列各题中幂值的大小：4
33.2与434.2；5631.0与5
635.0；2
3)2(-
与2
3)
3(-
.
幂函数性质的应用(第二课时)
课 型：新授课
教学目标：利用幂函数性质求解析式，证明，及实际应用。

教学过程：
例1、已知函数2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是：
（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。

解：（1）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为正比例函数，
则2211120
m m m m m ⎧+-=⇒=⎨+≠⎩ （2）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为反比例函数，
则22
11120m m m m m ⎧+-=-⇒=-⎨+≠⎩
(3) 若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为二次函数，
则221220
m m m m m ⎧+-=⇒=⎨+≠⎩
（4）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为幂函数，
则2
21,1m m m +=⇒=-
例2、已知函数2
23
()()m
m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，
（1）求m 的值，并
确定()f x 的解析式；
（2）若()log [()](0,1),a g x f x ax a a =->≠且是否存在实数a ，使()g x 在区间[2，3]上为增函数。

解：由
2
2
223
23
230
(3)5),3533()1()55
m
m m
m m m f f -++-++-++<⇒<⇒<=
2222
3
()5
3
2301.
2
,0 1.02331232
()1,(x y m m m m Z m m m m m m m f x m f x =∞∞∴-++>⇒-<<∈∴==-++==-++=∴=Q Q 在（-,+)上为减函数，
或当时，当时，而为偶函数，此时）=x （2）假设存在实数a ，使2
()log ()a g x x ax =-在区间[2,3]上为增函数，由
2420(2)(3)2, 1.
9302(),()1
2
a a
g g a a a
h x x ax h x x ->⎧⇒<<⎨->⎩=-=<与存在，得令则开口向上，对称轴
[2,3]x ∴∈当时,()h x 为增函数，又由()log ()a g x h x =在区间[2,3]上为增函数，得
1,1 2.a a >∴<<
例3、
若312(),(),f x x g x x x ==<<求证：
（1）12121
[()()](
);22
x x f x f x f ++>
（2）12121
[()()]();22
x x g x g x g ++<
证明：（1）
1212212121
[()()]()22..........
3
()()08
x x f x f x f x x x x ++-=-+>Q
∴12121
[()()]();22
x x f x f x f ++> （2）
22121221
{[()()]}[()]22
(1)
4
x x g x g x g ++-=-<
∴12121
[()()]();22
x x g x g x g ++< 例4、某工厂1968年的产值100万元增加到40年后2008年的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？
(lg 20.3,lg1.040.0175)==
解: 设每年年增长率为x ，根据题意，有40
40100(1)500,(1)5x x +=+=即
两边取自然对数，得40lg(1)lg5x +=
10
lg 20.3.lg5lg 1lg 20.72
=∴==-=Q lg50.7
lg(1)0.01754040
x ∴+=
== lg1.040.01750.044%x =∴==Q
答：每年的年增长率为4%。

练习：
1.指出函数2245
()44
x x f x x x ++=++
的单调区间，比较(),(2f f π--的大小。

增区间：(,2)-∞-，减区间(2,)-+∞；
()(2
f f π->-。