、选择题（每小题4分，共12分）
1.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度之比为3:4,那么对角线的长分别
A.3cm,8cm
B.3cm,4cm
3.如图,在菱形ABCD中,6=110 ,E,F分别是边AB和
BC的中点，EP丄CD于点P则/FPC=（）
A.35
B.45
C.50
D.55
二、填空题（每小题4分，共12分）
4. （2013 •淮安中考）若菱形的两条对角线长分别为3,则此菱形的面积
5. 如图,活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角a 使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm, a=120 °瑚,B两点的距离为cm.
/
?
6. （2013 •黔西南州中考如图所示，菱形ABCD的边长为4,
且AE丄BC于点E,AF丄CD于点F,/B=60。

，则菱形的面
积
三、解答题（共26分）[来源学科网ZXXK]
7. （8分）（2013 •黄冈中考如图,四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH 丄AB 于H,连接OH,求证：ZDHO二 ZDCO.
8. （8分）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,
其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手
柄可改变/ ADC的大小（菱形的边长不变），从而
改变千斤顶的高度（即A,C之间的距离）.若
当/ADC从60。

变为120 °时千斤顶升高了多少？（—〜1.414,—〜1.732,结果保留整数）
【拓展延伸】
9. （10分）已知:如图，菱形ABCD中,ZBAD=120 °,动点P在直线BC上运动，
ZAPM=60。

，且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为
QH.
A
门
C
（1）若P在线段BC上运动，求证:CP=DQ.
(2) 若P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,CH的一个数量关系，并证明你的结
论.
答案解析
1.【解析】选C.设两条对角线长分别为3x,4x,则=10 2,解得x=4.所以两条对角线长分别为12cm,16cm.［来…
2.【解析】选B.vAD //BE,AC//DE,
•四边形ACED是平行四边形,AAC=DE=6,
在Rt A ABO 中，
J 7 5
BO= =4,
•••BD=2BO=8.
又VBE=BC+CE=BC+AD=10,
n •••/BDE是直角三角形，
DE BD=24.
3.【解析】选D.延长PF交AB的延长线于点G.
可以证明厶BGF幻XCPF,
•为PG中点.
又由题可知，ZBEP=90
£ •••EF=H P G, V PF^PG,A EF=PF,A Z FEP= ZEPF,
VzBEP= ZEPC=90 °,A /BEF= ZFPC,
•••四边形ABCD 为菱形，•••AB=BC,
VE,F 分别为AB,BC 的中点，
•••zFPC=55
答案：3
【归纳整合】菱形的面积公式及拓展
(1) 菱形的面积=底x 咼.
5. 【解析】Ta 120 ° A 菱形的锐角，为60
/•AB=3 X l8=54(cm).
答案：54
6. 【解析】T 菱形ABCD 的边长为4, •••AB=BC=4,
VAE 丄 BC 于点 E,/B=60 °
•••BE=2,由勾股定理得，
-70 °=55
4.【解析】 由题意可知 :S 菱形= X 2X 3=3.
(2)如果菱形两条对角线的长分别为 a 和b,那么菱形的面积 ab. (3) 如果一个四边形的对角线互相垂直 ，且两条对角线的长分别为a 和b,那么这个
•••BE=BF,/BEF= ZBFE=
AE 」J A X-H 『=|J4J2仁屈
二菱形的面积=4 X2—=8」.
答案：8—
【归纳整合】含有60 °或20°内角的菱形的性质
(1) 短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形 .
(2) 菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为
30。

，可利用这一特殊关系解决问题.
p
(3) 如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为 Z a 2.
7. 【证明】T 四边形ABCD 是菱形，
•••OD=OB, ZCOD=90 °,
VDH 丄 AB,「OH=OB, •zOHB 二 ZOBH,
又T AB //CD,「.Z OBH 二 ZODC,
在 RtMOD 中,ZODC+ ZDCO=90 °,
在 RteHB 中,ZDHO+ ZOHB=90 °,
• Z DHO 二 ZDCO.
8. 【解析】连接AC,与BD 相交于点O,
T 四边形ABCD 是菱形，
•••AC 丄 BD, Z ADB= ZCDB,AC=2AO.
当 Z ADC=60 ° ^j^A ADC 是等边三角形.
［来源学科网］
「•AC 二AD 二AB=40(cm).
当Z ADC=120 °^Z ADO=6O °,ZOAD=30 °•AC A/A1} - OD J40 - 20 on J3Z\
.AO二-------------- 二 ------------- =20 d(cm).
•••AC=40 二(cm).
因此升高的高度为40^-40=40( —-1)〜29(cm).
9. 【解析】(1)连接AQ,作PE //CD交AC于E,则MPE是等边三角形，/EPQ二/ CQP.
又Z APE+ ZEPQ=60 °ZCQP+ ZCPQ=60
•zAPE二 ZCPQ,
又VzAEP= ZQCP=120 °,PE=PC,
B P
C II
•zAPEyPC,「AE二QC,AP二PQ,
•zAPQ是等边三角形，二z2+ /3=60 °
TZI+ Z2=60 °二/二Z3,
z.zAQD ^zAPC, ACP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.证明如下:…
•.AC=CD,CD=CQ+QD, •* AC=CQ+QD,
VCP=DQ, A AC=CQ+PC,
又v/CHQ=90 °,ZQCH=60 °「zCQH=30
•••CQ=2CH, /.AC=CP+2CH.。