FN2 FN1 τ'bdx 0
τ' dM S*z dx Izb
由 τ' τ
和
dM dx
FQ
τ FQS*z Izb
FQ━━横截面上的剪力,
(7-5)
为横截面对中性轴的惯性矩，
b ━━截面宽度
S*z ━━横截面上部分面积对中性轴的静矩
（7-5）
工程力学系
第七章 弯曲应力
S*Z A1 y1dA yh/2by1dy1
工程力学系
第七章 弯曲应力
第七章 弯曲应力
7.1 引言 7.2 弯曲正应力 7.37-1弯引曲言切应力 7.4 弯曲强度计算 7.5 提高弯曲强度的一些措施 7.6 开口薄壁杆件的弯曲中心
工程力学系
第七章 弯曲应力
本章任务:
7.1 引言
1)梁的弯曲应力计算 2)梁的弯曲强度计算
横截面上的内力━━剪力 FQ 和弯矩 M
Pa
28.8M Pa
拉压强度条件均满足
工程力学系
第七章 弯曲应力
7.5 提高弯曲强度的一些措施
7.5.1 合理安排梁的支座和载荷
M max
1 8
ql 2
M max
1 ql 2 40
适当地调整梁的支座位置，可以降低最大弯矩值
工程力学系
第七章 弯曲应力
M max
1 Fl 4
1
M max
Fl 8
M max
τy
FQS*z 2tI z
环形截面的最大切应力计算:
先求半圆环对中性轴的静矩
(7-15)
S*Z A1 ydA 20/ 2 R cos θtRdθ 2R 2t
及环形截面对中性轴的惯性矩
I z A y2dA 202 R 2 cos2 θtRdθ R3t
得到
tmax
FQ (2R 2t) 2tR 3t
Pa 10.5MPa
b点
S*z
Ab
yb
40
( 70 2
15) 106
[15
1 2
(70 2
15)]103 m3
2 105 m3
tb
FQ1S*z Izb
40 103 2 105 1.143106 40 10
3
Pa
17.5MPa
工程力学系
7.3.2 工字形截面梁的切应力 7.1 引言
第七章 弯曲应力
c
d
b
工程力学系
第七章 弯曲应力
解: 1)求 Iz
解： 1.求 Iz
2)求s
Iz
(D4 d 4 ) 64
π(504 254 ) (103)4 m4 64
2.88107 m4
a点
sa
M Iz
ya
1103 .88 107
25 103 Pa
86.8MPa(压应力)
b点
sb
c点
M Iz
yb
1103 .88 107
工程力学系
7.3.3 圆形截面梁的切应力
第七章 弯曲应力
τy
FQS*z Izb
式中b为弦线长度 , b 2 R2 y2
(7-13)
工程力学系
圆形截面梁的最大切应力为
t max
4 3
FQ R 2
7.3.4 环形截面梁的切应力
第七章 弯曲应力
(7-14)
工程力学系
第七章 弯曲应力
环形截面梁切应力的计算公式
52mm，试校核梁的强度。
例7-4 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示，
[sc ] 30MPa,[st ] 140MPa,Iz 763cm4, y1 52mm
试校核梁的强度。
工程力学系
第七章 弯曲应力
解 FA 2.5kN, FB 10.5kN
MC 2.5kN.m, M B 4kN.m
1．横截面上各点切应力的方向均与剪
力FQ的方向平行。 2．切应力沿截面宽度均匀分布。
工程力学系
第七章 弯曲应力
FN2
A1σ nsdA
M
A1
dM Iz
y1dA
M
dM Iz
A1
y1dA
M
dM Iz
S*z
FN1
M Iz
S*z
工程力学系
第七章 弯曲应力
考虑截出部分mnsr的平衡，见图(c)．由 Fx 0 得
计算公式仍然是适用的，其结果能够 满足工程精度要求.
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-2 槽形截面梁如图(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解: 绘M图，得B、C两截面的弯矩
MB 10kN.m MC 7.5kN.m
如图(b)所示
工程力学系
第七章 弯曲应力
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z1Oy，
横截面上的应力——正应力 s 和切应力t
横截面上内力与应力的关系:
FQ ~ t M ~ s
横截面上的弯矩只与该截面上的正应力有关 横截面上的剪力只与该截面上的切应力有
工程力学系
第七章 弯曲应力
7.2 弯曲正应力
7.2.1 纯弯曲梁的正应力应力
纯弯曲━━梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零 横力弯曲━━梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩
1．工字形截面腹板部分的切应力
考虑图(b)的mnsr部分的平衡，可得腹板的切应力
计算公式
τ FQS*z Izd
(7-9)
工程力学系
第七章 弯曲应力
由于
S*z
1 (H 22
h)b( H 22
h) 2
1 (h 22
y)d ( h 2
y)
t
FQ
[b(H
2
h2)
h2 4d (
y 2 )]
8I z d
4
第七章 弯曲应力
b'b' ( y)d
bb OO O'O' d
变形前
变形后
b'b'bb ( y)d d y
bb
d
(a)
工程力学系
第七章 弯曲应力
物理方面 s E E y
(b)
纯弯曲时的正应力在y方向按线性规律变化 静力学方面
工程力学系
平衡条件
第七章 弯曲应力
Fx 0
，
5 Fl 36
使集中载荷适当分散和使集载荷尽 可能靠近支座均能降低最大弯矩
工程力学系
7.5.2 采用合理的截面形状
第七章 弯曲应力
值越大，截面越趋于合理
bh 2 Wz 6 h A bh 6
b2h Wz 6 b A bh 6
Wz 值越大，截面越趋于合理 A
工程力学系
第七章 弯曲应力
M max y1
BC段:纯弯曲
AB 和 CD段:横力弯曲
工程力学系
第七章 弯曲应力
纯弯曲梁横截面上正应力的分析方法: 变形方面、物理方面和静力学方面 实验和观察
变形前
变形后
梁内部的变形的基本假设：
(1)平面假设 (2) 单向受力假设
工程力学系
第七章 弯曲应力
概念和术语: 对称轴,中性轴,中性层
工程力学系
变形方面
对于矩形截面
Wz
bh3 /12 h/2
bh 2 6
(7-3) (7-4)
对于圆形截面
Wz
D4 / 64 D/2
πD3 32
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图(a)所示。
已知：弯矩M= l kN.m，外径D=50mm，内径d=25mm。 试求横截面上a、b、c及d四点的应力,并绘过a、b两点的 直径线及过c、d两点弦线上各点的应力分布图。
{ 1 12
350
5003
350 500
(317
250) 2
[ 1 250 4003 250 300 (317 200)2 ]}mm4 12
1728106 mm4
工程力学系
第七章 弯曲应力
B截面的最大拉应力为
s Bt
MB Iz
ymax
B截面1的0最大拉1应0力3为 (500 317) 103 1728 106 (103 )4
b ( h2 y2) 24
t FQ ( h2 y 2 ) 2Iz 4
(7-6)
t max
FQh2 8Iz
t max
3FQ 2bh
(7-7)
t
G
FQ ( h2 y 2 ) (7-8)
2GIz 4
最大切应力发生在中性轴上, 上、下边缘线上各点的切应力为零,
切应力沿截面高度按抛物线规律变化
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-3 矩形截面梁的横截面尺寸如图(b)所示。集中力F=88kN，
试求1-1截面上的最大切应力以及a、b两点的切应力。
解: 支反力FA、FB分别为
FA=40kN，FB=48kN
1-1截面上的剪力 FQ1=FA=40kN
Iz
40 703 12
(103 )4 m4
1.143106 m4
σt
M B y1 Iz
4 103 52 103
Pa 27.2MPa
763 (10 ) 2 4 解 由静力平衡方程求出梁的支反力为
σc
MBy2 Iz
40 103 (120 20 52) 103 Pa 46.2MPa 763 (102 )4
σt
MC
y 2
Iz
2.5 103
(120 20 52) 103 763 (102 )4
Pa
1.06MPa
C截面的最大拉应力为
sCt