用黄金分割法的操作步骤如下: 用黄金分割法的操作步骤如下: 用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度, 用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度, 1000 为起点标出刻度 找出它的黄金分割点x 作为第一试点; 找出它的黄金分割点x1作为第一试点; 对折纸条,找出x1的对称点x2作为第二试点; 对折纸条,找出x 的对称点x 作为第二试点; 用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量: 用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量:
• 为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1]. 为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1].
(1+x(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618. 这就是黄金 分割常数。 分割常数。
黄金分割常数用 表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618 黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618 怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b] 这是我们今天要解决的问题. 这是我们今天要解决的问题.
A C B
设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1. 设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1. AC=x,为了计算方便 不难得出:x +x解之:x 不难得出:x2+x-1=0 解之:x≈0.618
尽快的找到最佳点的两个原则是什么？ 尽快的找到最佳点的两个原则是什么？ （1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中 每次要进行比较的两个试验点， 心对称；（ ；（2 心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应 为相同。 为相同。 • 根据上面的两个原则: 根据上面的两个原则: (b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
课题:黄金分割法---0.618法 课题:黄金分割法---0.618法 ---0.618
把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法, 把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是 黄金分割法. 黄金分割法. • 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料, 炼出来的钢满足一定的指标要求。 炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某 种特定用途的钢， 种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到2000g之间 之间， 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。 的最优加入量。 最朴素的想法是: 1g为间隔, 1001开始, 最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到 为间隔 开始 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验 的所有情况都做一遍实验, 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验, 一定可以得到最优值. 一定可以得到最优值.
一般公式： 一般公式：xn=小+大－xm
二试对折重合点; 二试对折重合点 留下含好那一段; 留下含好那一段 按此办法反复做; 按此办法反复做 直到结果满意止; 直到结果满意止
何时才算满意呢? 何时才算满意呢
什么时候结束我们的试验呢?这要看你要求试验达到 什么时候结束我们的试验呢 这要看你要求试验达到 什么精度 精度. 什么精度 定义:存优范围与原始范围的比值叫做精度. 定义 存优范围与原始范围的比值叫做精度 存优范围与原始范围的比值叫做精度 第n次试验后的存优范围 次试验后的存优范围 δn = 原始的因素范围
精度计算公式 精度计算公式: 计算公式
n≥
.
lgδ +1 lg0.618
.
其中,δ为精度. 其中,δ为精度. ,δ为精度
练习
1、 P10 习题 、 习题1.3 第1、2题 、 题
2、《学法大视野》P7 演练三第 、4、5 题 、 学法大视野》 演练三第1、 、
小结: 小结 1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形. 、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形 2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处. 、第一个实验点确定在因素范围的 处 3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确 、后续实验点用“加两头，减中最佳点被限制在越来越小的范围内 重复上面的步骤 最佳点被限制在越来越小的范围内, 最佳点被限制在越来越小的范围内 即存优范围越来越小. 即存优范围越来越小 上面的过程可以总结如下: 上面的过程可以总结如下
一试零点六一八, 一试零点六一八 对准差点切一刀, 对准差点切一刀 再试好点对称处, 再试好点对称处 每次打折六成多, 每次打折六成多
试验点的选取： 试验点的选取： x1=小+0.618×(大－小)……(1) +0.618× (1) x2 =小+大－x1 ……(2) (2) 对于(2)来说,相当于“加两头,减中间”. 对于(2)来说,相当于“加两头,减中间” (2)来说
一般公式： 一般公式：xn=小+大－xm
比较两次实验结果,如果x 是好点, 比较两次实验结果,如果x2是好点,则将纸条沿 1618处剪断 去掉1618以上的部分,保留1618 处剪断, 1618以上的部分 1618以下 1618处剪断,去掉1618以上的部分,保留1618以下 的部分. 的部分. 重复上面的步骤,找出 的对称点x 作为第三试点. 重复上面的步骤 找出x2的对称点 3作为第三试点 找出 X3=1000+1618-1382=1236 (第三次加入材料 第三次加入材料1236g) 第三次加入材料
1000 1236 1382 1618
x2 x 如果第二试点仍是好点,则剪掉 则剪掉1236以下的部分 以下的部分, 如果第二试点仍是好点 则剪掉 以下的部分 在留下的部分内找出x 的对称点x 作为第四试点. 在留下的部分内找出 2的对称点 4作为第四试点
3
1236
1382 1472 x4
1618
x3
黄金分割法—0.618 0.618法 4.7.3(2) 黄金分割法 0.618法
1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法 1974年 数学家华罗庚( 3)在农村推广优选法
《湖南数学网》 湖南数学网》
什么是线段的黄金分割点？ 什么是线段的黄金分割点？
A C B
AB分成两条线段AC和 =BC×AB， 点 如图， 把线段AB分成两条线段AC BC， 如图， C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB， 则称点C为线段AB的黄金分割点。 则称点C为线段AB的黄金分割点。 AB的黄金分割点 线段AC与AB的比值是多少? 线段AC与AB的比值是多少? AC 的比值是多少
δn=0.618n-1
例如:若要求精度达到 要做多少次试验呢? 例如 若要求精度达到0.05.要做多少次试验呢 若要求精度达到 要做多少次试验呢
0.618n-1≤0.05
则 n≥
.
lg0.05 +1≈7.22 lg0.618
.
所以,只要安排 次试验 就可以使精度达到0.05. 所以 只要安排8次试验 就可以使精度达到 只要安排 次试验,就可以使精度达到