全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}x
M x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）
A ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．(1,1]-
D ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态
B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元
C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年
D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0
2012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ） A ．1
B ．2
C 2
D ．22
5．若抛物线2
2(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．
14
B ．
512
C ．
724
D ．
1112
7．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ） A ．22
B 6
C ．3
D 108．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31
()log 211
x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）
A ．(,4)-∞-
B ．(,1)-∞-
C ．2,3⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,3⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
开始
1,2,0
a n S ===n S S a
=+
(1)
a a =⨯-2
n n =+n >7?
输出S 结束
是否
9．已知函数()sin()(0,0,)2
f x M x M π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是
4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．3
π
ϕ=-
B ．直线23
x π
=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
--
⎢⎥⎣
⎦
上单调递减
10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，
该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于虚数，将其绘成图2，若E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A ．1126
B ．713
C ．12
D ．1124
11．已知12,F F 分别是双曲线2
2
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点．若双曲线C 与圆222:O x y a +=
2b +的一个交点为0000(,)(0,0)A x y x y <>，且双曲线C 的渐近线为26y x =±，则21cos AF F ∠=
（ ）
A ．3
3
B ．
35
C ．
45
D ．
63
6
22正视图侧视图
俯视图
朱方朱出
青入
青入
青出
青出
青方
A B C
D E G
H I
J
K 朱入
图1
图2L
12．若(0,)x ∃∈+∞使得1
(2)ln 302
mx x x x x -+-+<，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,4]
B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(4,)+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知x y 、满足不等式组2103260x x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≥，则3z x y =+的最大值为 ．
14．已知向量(sin ,2),(cos ,1)m n θθ==，若//m n ，则tan 4πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
． 15．某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有 种．
16．已知,,,A B C D 四点都在半径为2的球O
的表面上，2,,AC BC AC BC BD CD ==⊥==则三棱锥A BCD -的体积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3116,41(2,)n n a S S n n N *
-==+∈≥．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1221,42
1,4
log log n
n n n
n a n b n a a -+⎧⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩≤，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．根据以往经验，大闸蟹在10月份开铺．而近几年从9月份开始，大闸蟹的销售市场就先热了起来，
各大商家运用“礼品经济”的促销活动，先让顾客交钱买卷，等大闸蟹上式再去提货．某经销商为吸引顾客，推出购劵优惠活动，该经销商销售的都是面额为500元的蟹卷，对蟹卷逐张购买给予相应优惠，其标准如下表所示：
（1）估计某顾客购买蟹卷不低于1000元的概率；
（2）若某顾客购买了100元的蟹卷，求该经销商获得的每张蟹卷的平均利润；
（3）假设每个顾客最多购劵2000元，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该经销商从每位顾客的消费中获得的平均利润．
19ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,2O AC =，把ABC △沿AC 折起得到PAC △，记点P 在底面ACD 的投影为点G ． （1）求证：点G 在直线OD 上． （2）若二面角P AC D --的余弦值为
1
3
，点E 是PD 的中点，求AE 与CG 所成角的余弦值．
A
B
C
D
O
O A P
E
D
C
G
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e ，且22b a
与e 为方程2
2730x x -+=的两根．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点2F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同的两点0,,M N l 与l 关于x 轴对称，Q 是0l 与y 轴的交点，若22QM QN QM QN +=-，求2
k 的值． 21．已知函数()2ln ()f x x ax a =-∈R ． （1）若()f x 的最大值为2-，求a 的值；
（2）若存在实数1,,42
m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2
ln 23
a ≤≤
． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
22cos 2sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），直线l
的参数方程为212
x y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ
(0,02)ρθπ><≤是曲线C 上任意一点．
（1）求证：cos 4
ρ
θ=
．（2）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N ，求
11
AM AN
+的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设函数()2421f x x a x =++-． （1）当1
2
a =
时，解不等式()4f x <； （2）若41,()a f x -<<-的图象与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为
10
3
，求实数a 的值．。