大庆师范学院本科生毕业论文二元函数极值存在的判别方法院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名韩明学号200801052602指导教师姓名夏晶指导教师职称副教授2012年6月1日摘要在生活、生产、经济管理和各种资金核算中，常常要解决在一定的条件下怎么使投入最小、产量最大、效益最高等等问题.因此解决这些问题具有现实意义.这些经济和生活的问题常常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，将问题数字化，简单、精确，进而转化为求函数中最大（小）问题，即函数的极值问题.因此，对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义.本文主要探讨了二元函数极值存在的充分条件、必要条件的判定方法，以及如何求解，并对结果进行了简要的证明.关键词：二元函数；极值；驻点；条件极值AbstractIn industrial and agricultural production,management of the economy and the economic accounting,we often solve the problems such as how to make input smallest,output most efficient in given conditions.In the life we often encounter how to achieve maximum profit,use the minimum materials and get maximum efficiency,to deal with the similar problems that have its realistic significance.Above problems can be transformed with function and its function of maximum and minimum value.The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics,therefore approaching the extreme value have significance meanning.Keywords:function;extreme value;stagnation;conditional extremum目录第一章前言 .......................................... 错误！未定义书签。

1.1简述极值问题................................... 错误！未定义书签。

1.2二元函数的概念................................. 错误！未定义书签。

1.3二元函数的极值 (2)1.3.1极值存在的必要条件 (2)1.3.2极值存在的充分条件 (2)第二章二元函数求极值的方法 (4)2.1无条件极值问题 (4)2.2条件极值问题 (5)第三章二元函数极值的意义 (8)参考文献 (9)第一章 前 言1.1 简述极值问题函数极值问题是一个非常普通的数学问题，但在实际生活中却是非常重要的应用.本文主要参照一元函数的研究方法研究了二元函数的极值，得出了二元函数极值存在的判定方法.极值的概念来自数学应用中的最值问题.定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题的关键在于要确定它在哪点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.1.2 二元函数的概念二元函数是含有两个自变量的函数，它是函数的一种类型，可视为一元函数概念的一种推广.定义1]1[ 在某个变化过程中，存在三个变量x ，y ，z ，若对x ，y 的每一对数值),(00y x 总有唯一的数值0z 与其对应，则z 就叫做x 与y 的函数，x 与y 的取值范围叫定义域（亦称可微域）.例如：路程s 就是其速度v 与时间t 的二元函数.三角形面积s 就是其底a 与高b 的二元函数.二元函数的定义很好理解，二元函数极值的判别与求法是二元函数的重点以及难点.例如，22),(b a ab b a f ++=在全平面内可微，则2)0,(a a f =在0=x 处有极大值，2),0(b b f =在0=y 处有极大值.此二元函数22),(b a ab b a f ++=虽然在点)0,0(处从x 轴方向和y 轴方向来看都有极大值，但),(b a f 在)0,0(处不是极大值.我们可知一元函数极值的确定只需考虑在0x 左右侧的导数情况即可以得出相关结论.但在二元函数中情况就较为复杂.1.3 二元函数的极值定义2]1[设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有),(),(00y x f y x f ≤，)),(),((00y x f y x f ≥，则称),(00y x f 为函数),(y x f 的极大值（小）值。

这里极大值与极小值我们统称为极值，函数取得极值的点),(00y x 称为极值点.由以上定义可以得知，函数的极大值与极小值问题是一个“局部性”的问题，或者说，函数在极值点处取到极大值，此时的“极大”只在这一点周围很小的范围内，也只有在这个范围内，取得的函数值才是最大的.例如：1),(22++=y x y x f ，对任意)0,0(),(≠y x 有),(y x f >1)0,0(f =，所以函数2),(x y x f z ==12++y 在)0,0(处取得极小值1)0,0(=f . 又如：221),(y x y x f --=对任意),(y x 不等于)0,0(有f ),(y x <)0,0(1f =，所以函数=z 221),(y x y x f --=在)0,0(处取得极大值1)0,0(=f .那么在一般条件下怎样判断二元函数极值是否存在呢？参考一元函数的极值的讨论方式，对二元函数极值有如下讨论结果.1.3.1 极值存在的必要条件定理1]2[(极值存在的必要条件)若函数),(y x f 在),(00y x f 处有极值，且函数在该点的一阶偏导数都存在，则有),(00y x f x =),(00y x f y 0=.证：因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知道0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .我们把凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f yx 的点),(00y x 都称为函数),(y x f z =的驻点. 定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点.反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如：函数22y x z -=，在点)0,0(处的两个偏导数为0，即)0,0(是驻点，但在)0,0(的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以)0,0(不是极值点，由此我们可知驻点不一定是极值点.此外，极值点也可能是偏导数不存在的点。

例如，上半锥面在点)0,0(的偏导数不存在，但)0,0(是函数的极小值点，函数极小值为0.1.3.2 极值存在的充分条件定理2]2[（极值存在的充分条件）设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且点),(000y x P 是函数的驻点，即),(00y x f x =),(00y x f y =0，记：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，AC B -=∆2，则：（1）当∆<0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极值，且当0<A 时，有极大值，当0>A 时，有极小值；（2）当∆>0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处没有极值；（3）当∆=0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可能有极值，也可能没有极值.我们根据定理1和定理2可知，若函数),(y x f z =的二阶偏导数连续，则可按照下列步骤求函数的极值]3[：（1）求偏导数x f ，y f ，解方程组求出所有驻点.（2）对于每一个驻点),(00y x 求出二阶偏导数的值A ，B ，C .（3）确定AC B -=∆2的符号，确定极值的情况.由此可知:函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点，但偏导数存在的极值点一定是驻点。

我们由例题来加以理解和讨论：例1 求函数22y xy x z +-=的极值.解 (1)求驻点：由方程组⎩⎨⎧=+-==-=0202y x z y x z yx 解得驻点)0,0(. (2)求二阶偏导数：2=xx z ，1-=xy z ，2=yy z .故在点）（0,0处，2=A ，1-=B ，2=C 从而032<-=-AC B ，02>=A ，所以函数在点）（0,1处取得极小值0.例2 求xy y x y x f 3),(33-+=的极值.解 (1) 求驻点：由y x f x 332-=,x y f y 332-=，当003303300422=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧==y y x y y x f f y x ， 解得01=y ,12=y ,即可得驻点)0,0()1,1(.(2)求二阶偏导数：x f xx 6=,3-=xy f ,y f yy 6=.在点)0,0(处，090)3(2)0,0(2>=--=-ACB ，所以)0,0(f 不是极值； 在点）（1,1处，036)3(2)1,1(2<--=-AC B ， 所以)1,1(f 是极值点，且06)1,1(>=A ，所以1)1,1(-=f 为极小值.第二章 二元函数求极值的方法2.1 无条件极值的问题无条件极值即对自变量只有定义域限制.无条件极值的求法]4[:(1) 利用函数极值的定义求极值；(2) 利用函数极值存在的充分必要条件求极值，求),(y x f z =的极值的一般步骤为:○1 解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f yx ，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(00y x ； ○2 利用二阶偏导的判别式AC B -=∆2判定是否为极值点，是极大值点还是极小值点；○3 根据极值点确定极值. 例 求函数xy y x z 223-+=的极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值。