函数对称中心的求法解析
题目 函数32
()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________.
一、利用定义求对称中心
分析 根据中心对称图形的定义，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上. ∴22x x a y y b '+=⎧⎨'+=⎩，即22x a x y b y
'=-⎧⎨'=-⎩. ∴(2,2)A a x b y '--， 代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--,
化简得：32232
(36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-， 与32
()367f x x x x =-+-是同一函数，则对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-⎧⎪-+=⎨⎪+-+-=-⎩
，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-.
点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.
二、巧取特殊点求对称中心
分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点分别为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上.
∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7
b a a a b a a a ⎧+=---+--⎪⎨-=---+--⎪⎩，相减则26(253)0a a -+=，
∴13a b =⎧⎨=-⎩或321a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
.又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)-关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f =≠，∴3(,1)2
不是对称中心，故对称中心为(1,3)-.
点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解.
三、巧构奇函数求对称中心
分析 把函数()y f x =变形为33(1)3(1)y x x +=-+-，设函数3()y g x x x ==+，∵()y g x =为奇函数，∴其对称中心为(0,0)O ，又将函数3y x x =+的图象按向量(1,3)a =-平移刚好得到33(1)3(1)y x x +=-+-，∴()y f x =的对称中心是由()y g x =的对称中心(0,0)O 按向量(1,3)a =-平移得到的，即为(1,3)-．∴()y f x =的对称中心为(1,3)-．
点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.
【2013春考】31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。

已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。

（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；
（2）求函数22()log 4x h x x
=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件
为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。

判断该命题的真假。

如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。

解:（1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++，
整理得33y x x =-，
由于函数33y x x =-是奇函数，
由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，。

（2）设2
2()log 4x h x x =-的对称中心为( )P a b ，，由题设知函数()h x a b +-是奇函数。

设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()x a f x b x a +=--+，即222()log 4x a f x b a x +=---。

由不等式2204x a a x
+>--的解集关于原点对称，得2a =。

此时22(2)()log (2 2)2x f x b x x
+=-∈--，，。

任取(2,2)x ∈-，由()()0f x f x -+=，得1b =， 所以函数2
2()log 4x h x x
=-图像对称中心的坐标是(2 1)，。

（3）此命题是假命题。

举反例说明：函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数。

修改后的真命题：
“函数()
=成轴对称图像”的充要条件是“函数=的图像关于直线x a
y f x
=+是偶函数”。

()
y f x a
长宁区2013—2014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）
22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分） 已知函数x
x a x x f -+-=1log 1)(2为奇函数. （1）求常数a 的值；
（2）判断函数的单调性，并说明理由；
（3）函数)(x g 的图象由函数)(x f 的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出)(x g 的一个对称中心，若1)(=b g ，求)4(b g -的值。

22、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由
01>-+x
x a ，得 0))(1(<+-a x x ，所以1=a 。

…………2分 这时x
x x x f -+-=11log 1)(2满足)()(x f x f -=-，函数为奇函数，因此.1=a
…………4分
（2）函数为单调递减函数.)1
21(log 1)(2----=
x x x f
法一:用单调性定义证明；
法二：利用已有函数的单调性加以说明。

121---x 在)1,1(-∈x 上单调递增，因此)121(log 2---x 单调递增，又x
1在)0,1(-及)1,0(上单调递减，因此函数)(x f 在)0,1(-及)1,0(上单调递减；
法三：函数定义域为)1,0()0,1(⋃-，说明函数在)1,0(上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在)0,1(-上也是单调递减，因此函数)(x f 在)0,1(-及)1,0(上单调递减。

…………10分
（3）因为函数)(x f 为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数)(x g 的一个对称中心为)2,2(， …………13分 因此有4)()4(=+-x g x g ，因为1)(=b g ，因此.3)4(=-b g …………16分。