2018年湖南省郴州市初中毕业、升学考试数学学科（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018湖南郴州，1，3） 下列实数:3、0、12、2-、0.35，其中最小的实数是（ ） A ．3 B.0 C. 2- D. 0.35【答案】C 2．（2018湖南郴州，2，3）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫.请用科学记数法表示125000为（ ） A ．51.2510⨯ B.60.12510⨯ C.41.2510⨯ D.41.2510⨯ 【答案】A 3．（2018湖南郴州，3，3）下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B.221aa -=-C. 33233-=D. ()()2224a a a +-=+【答案】C4．（2018湖南郴州，4，3）如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3【答案】D 5．（2018湖南郴州，5，3）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ）【答案】B 6．（2018湖南郴州，6，3）甲、乙两超市在1月至8月期间的赢利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A.甲超市的利润逐月减少 B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D7．（2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A.6B.2C.3D.33【答案】D【解析】由题意得OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=12OM=3，故选C．8．（2018湖南郴州，8，3）如图，A，B是反比例函数yx在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，∵A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴A ，B 两点的坐标分别为（2,2），（4，1），∴AC=2,BD=1,DC=2, ∴()112232ACBD S =??梯形，观察图形，可以发现：AOB BOD AOC ACBD S S S S D D D +=+梯形，而BOD AOC S S D D =，∴3AOB ACBD S S D ==梯形.二、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2018湖南郴州，9，3） 计算：(23 .【答案】310．（2018湖南郴州，10，3）因式分解：3222a a b ab -+= . 【答案】()2a ab -11．（2018湖南郴州，11，3） 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 . 【答案】720° 12．（2018湖南郴州，12，3）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是 . 【答案】813．（2018湖南郴州，13，3）已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为-3，则方程的另一个根为 . 【答案】2抽取瓷砖数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 合格品数m 96 282 382 570 949 1906 2850 合格品频率m n0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .（精确到0.01） 【答案】0.95 15．（2018湖南郴州，15，3）如图，圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm .（结果用π表示）【答案】12π 16．（2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 .【答案】34y x =+ 【解析】延长BC 交x 轴于点D ，∵A 点的坐标是（0，4），∴OA=4，∵四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，∴OA ∥BC ，OA=OC=4, ∠DOC=30°，∴∠AOD+∠ODB=180°，∴∠ODB=90°，∴BD ⊥x 轴，在Rt △ACD 中，sin 30CDCO︒=，cos30ODCO︒=，∴CD=2，3，∴C 点的坐标为（32）. ∵A 点的坐标是（0，4），∴可设直线AC 的表达式为4y kx =+，将C 点坐标代入，可得：2234k =+，解得：3k =，∴设直线AC 的表达式为34y x =+. 三、解答题（本大题共10小题，满分82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018湖南郴州，17，6）计算：()20181122sin 4521--︒+--解：()20181122sin 4521--︒+--=211321212121222-+-=-=- 18．（2018湖南郴州，18，6）解不等式组：()32214232x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.解：解不等式①，得：4x >-；解不等式②，得：0x ≤，将这两个不等式的解集分别表示在数轴上：∴不等式组的解集为：40x -<≤ 19．（2018湖南郴州，19，6） 如图，在□ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD 、BC 于E 、F ，连接BE 、DF.求证：四边形BFDE 是菱形.证明：∵BD 垂直平分EF ，∴EO=FO ，∠EOD=∠FOB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∴△EOD ≌△FOB ，∴OB=OD ，∵EO=FO ，EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形. 20．（2018湖南郴州，20，8）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以奖励抢答者.如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元. （1）A 、B 两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？ 解：（1）设A 、B 两种奖品每件各是x 、y 元，依题意，得：20153801510280x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩. 答：A 、B 两种奖品每件各是16、4元.（2）设A 种奖品最多购买a 件，B 种奖品购买()100a -件，依题意，得：()164100900a a +-≤，解得：1253a ≤. 答：A 种奖品最多购买41件. 21．（2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）解：由题意，易得：A E ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ， 在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，3x ；在Rt△ABD中，tan60AD BD︒=，BD=33x；∵CD-BD=BC，BC=30米，∴33303x x-=，15325.98x=≈（米）.答：无人机飞行高度AD约为25.98米.22．（2018湖南郴州，22，8）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°. （1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若A E⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.解：（1）∵∠AEC=30°，∴∠B=∠AEC=30°，∵AB=AD，∴∠B=∠D=30°，连结OA，∴OA=OB，∴∠B=∠BAO=30°，∴∠AOD=60°，∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，∴OA⊥A D，∴直线AD是⊙O的切线；（2）∵∠AOC=60°，OA=OB，∴△OAC是等边三角形，∵⊙O的半径为4，A E⊥BC，∴sinAMAOCOA∠=，23AM=，∴AE=243AM=.23．（2018湖南郴州，23，8）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型，在献血者人群中随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型 A B AB O人数10 5（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？解：（1）由统计图表知：AB型人数有5人，其所占百分比为10%，故总人数为：5÷10%=50（人）；∵B型血有10人，∴10÷50=20%；（2）∵O 型血人数为：50×46%=23（人），∴A 型血人数有：50-10-5-23=12（人）； （3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是：14； ∵A 型血所占的百分比为：12÷50=24%，∴3000人中A 型血大约有：3000×24%=720（人）. 24．（2018湖南郴州，24，8） 参照学习函数的过程与方法，探究函数()20x y x x-=?的图象与性质.因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x=-来探究. 列表： x…-4-3-2-112-121 2 3 4 …2y x =-…12 23 1 2 4-4-2 -1-2312-…2x y x-=…32532 3 5 -3 -1 013 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x y x-=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来： （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x <时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向 平移 个单位而得到； ③图象关于点 中心对称.（填点的坐标） （3）设A ()11,x y ，B ()22,x y 是函数2x y x-=的图象上的两点，且12x x +=0，试求123y y ++的值.解：（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示：（2）①当0x <时，y 随x 的增大而增大 ；（填“”或“减小”）； ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点（1，0）中心对称.（3）方法1：观察表格，当1x 、2x 分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即122y y +=，∴123y y ++=2+3=5.方法2：∵()1212121212222221122x x y y x x x x x x +⎛⎫+=-+-=-+=-⎪⋅⎝⎭，12x x +=0， ∴12y y +=2，∴123y y ++=2+3=5.25．（2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：①M 点在x 轴的上方，当四边形CDPM 是平行四边形，且C 、P 和D 、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ，根据平行四边形对角线互相平分，则N 点的坐标可表示为（02t +，23232t t -++）或（1，02a +），∴02t +=1，23232t t -++=02a +，解得：t =2，a =6, ∴M 点的坐标为（1，6）；②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在； 综上，点M 的坐标为（1，6）；（3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯ ()2132332t t t =⨯⋅-++- ()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=，设P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=122h ?，∵S=23922t t -+，∴2h =23922t t -+，)23h t t =--229933244228t t t ⎛⎫⎫=--+-=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当t =32时，h ，此时P 点的坐标为（32，154）.26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F.（1）如图1，将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接P ′C ，F ′B ，设旋转角为a ()0180a ?<?.①若0a ?<∠BDC ，即DF ′在∠BDC 内部时，求证：△DP ′C ～△DF ′B ；②如图3,若点P 是CD 的中点，△DF ′B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF ′的值，如果不能，请说明理由.解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵PF∥BC，∴PF∥AD，∴∠ADB=∠DFP，∵将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF，∴∠DFE=∠DFP，∴∠ADB=∠DFE，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①∵PF∥BC，∴DP DFDC DB=，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，DF=DF′，∴DP DFDC DB=′′，∴△DP′C～△DF′B；②由①知，△DP′C～△DF′B，∴∠DBF′=∠DCP′，∵点P是CD的中点，∴DP=12 DC，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，∠DF′B=∠DP′C，当∠DF′B=90°时，有∠DP′C =90°，∴DP=DP′=12DC，∴∠P′CD =30°，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=tan30°=3当∠B DF′=90°时，有∠C DP′=90°，∴DP=DP′=12DC，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=12.。