函数的概念定义域和值域函数的概念、表示、定义域和值域一、复习回顾1.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且SB φ≠的集合S 为 （A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）82.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U等于（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4(D) }{,,,,123453.已知全集U=R ，集合{}21P x x =≤，那么UC P =A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()1,1-D.()(),11,-∞-+∞ 4. 若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件5.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A. 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件6.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）．Ａ．若()f x 偶函数，则()f x -是偶函数Ｂ．若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数Ｃ．若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数Ｄ．若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数二、知识梳理1.函数的概念⑴定义：设A ，B 是_______，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有___________和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∍，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的__________;与x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{x x f )(∈A}叫做函数的________，值域是集合B 的 。

⑵．函数的三要素： 、 及 。

在函数三要素中起决定性作用的是______________及____________，定义域和对应法则确定了，这个函数就确定了。

2.映射设A,B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的一个映射，记作B A f →:映射是特殊的对应：____________________________________,函数是特殊的映射：_____________________________________.3.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种： 、 、 。

分段函数：在定义域的不同区域有不同的解析式，这样的函数称为分段函数。

4.定义域的求法⑴通常情况下，定义域是由使表达式有意义的所有自变量的值组成的集合，常见的情况有： ①)()(x f x g ： ，②)(x f ：③)(log x f a ： ，④0)(x f ：⑵x x f )((∈A ）形式的函数其定义域为A,而不是由使函数表达式有意义的所有自变量的值构成的集合。

⑶当变量有实际意义时，要考虑自变量的实际意义。

5.求函数值域或最值的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图像法；⑥不等式法；⑦导数法。

一、映射的概念在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

练习1.设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是A 、M 中每一个元素在N 中必有象B 、N中每一个元素在M 中必有原象C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的D 、N 是M 中所在元素的象的集合练习2.点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________；练习3.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个；练习 4.设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个；练习5.设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____.二、函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

练习 6.已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个；练习7.若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝三、同一函数的概念构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个.四、求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零，对数log ax 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。

练习8.函数lg 3y x =-的定义域是____；练习9.若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______；练习10.函数()a b，0f x的定义域是[,]>->，则函数b aF x f x f x=+-的定义域是__________；()()()练习11.设函数2=++，f x ax x()lg(21)①若()f x的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()f x的值域是R，求实数a的取值范围2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3.复合函数的定义域：若已知()a b,其复合函数[()]f x的定义域为[,]f g x的定义域由不等式()f g x的定a g x b≤≤解出即可；若已知[()]义域为[,]f x的定义域，相当于当[,]a b,求()∈时，求x a b()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

练习12.若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________练习13.若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________五、求函数值域（最值）的方法：1.配方法----二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），练习14.求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域练习15.当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；练习16.已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为______.2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型练习17.①22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____；练习18.21y x =++的值域为_____练习19.sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____；练习20.4y x =+____；3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，练习21.求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x xy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域.4.单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性 。

练习22.求1(19)y x x x=-<<，532log x y -=+5.数形结合法―函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，练习23.已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x-的取值范围；练习24.求函数y =的值域；练习25.求函数y 及y =的值域。

6.判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2by k x=+型，可直接用不等式性质， 练习26.求232y x =+的值域②2bx y xmx n=++型，先化简，再用均值不等式， 练习27.求21x y x =+的值域练习28.求函数y =③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法；练习29.已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值④2x m x n y mx n''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，练习30.求211x x y x ++=+的值域7.不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

练习31.设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________8.导数法――一般适用于高次多项式函数， 如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六、分段函数的概念。