第三章习题答案1.分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分1,I =⎰并估计误差。

解：1）用梯形公式有： 事实上， 2）Simpson 公式事实上，()()()110.50.510.5410.000030462S E f f f f -⎡+⎤⎛⎫=-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰3）由Cotes 公式有： 事实上，()0.0000003C E f =2．证明Simpson 公式()2.8具有三次代数精度。

证明：而当()4f x x =时左侧：()()45515b b f x dx x dx b a a a ==-⎰⎰ 右侧：左侧不等于右侧。

所以Simpson 具有三次代数精度. 3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson 计算下列积分.(1)21,804x dx n x =+⎰，（3）,4n =⎰，6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ解：（1）用复化梯形公式有：10188b a h n --===，()()[]12345672128888888102(0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.111416n h T f a f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⨯+++++++=由复化Simpson 公式有： 解：删去 解（3）：,4n =⎰由复化梯形公式有： 由复化Simpson 公式有：（4）解：6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ由复化梯形公式： 由复化Simpson 公式：4．给定求积节点012113,,,424x x x ===试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并写出它的截断误差。

解：考虑到对称性，有20A A =，于是有求积公式由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。

考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。

事实上，对3f x =原式左右两端相等：此外，容易验证原式对4f x =不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。

5．给定积分20sin I xdx π=⎰。

（1）利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过3110;2-⨯ （2）取同样的求积节点，改用复化Simpson 公式计算时，截断误差是多少？（3）如果要求截断误差不超过610-，那么使用复化Simpson 公式计算时，应将积分区间分成多少等分？解：(1) 33''''22()()()()1296nTb a E f f f n nπηη-=-=- 当误差3()0.510n T E f -≤⨯时，n ≥25.6, 所以取n =26。

（2）1S 4''''42E []()()()sin()n 180218022nh f f ππηη=-=-⨯⨯b-a 6．用Romberg 求积方法计算下列积分，使误差不超过510-。

（11x e dx -；（2）20sin x xdx π⎰；（3）3⎰;(4)12041dx x +⎰解（1）：dx ex⎰-12π计算可以停止。

解（2）：dx x x ⎰π20sin581116266125455244844483163381623222163264323232643103215255124444243833482162281632161616321501614244123433210105.9Y -Z 283185304.6Y 141Y 144Z ,283185304.6X 141X 144Y 283185304.6R 141R 144,283185304.6141144283185292.6141144,283188551.63134278137899.6)(21,293289853.6163216:]20[)(283185209.6141_144283185288.6141144,283185356.6141144283184528.6141144,283237428.63134262985945.6)(21,323740394.68168]20[)(283266463.6141144,283202742.6141144--==<⨯=-=---=-=---=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=--=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=---=-=---=∑∑X C C R S S C T T S H T T i f H ，g X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R i i ππππππππ六十四等分将三十二等分将（3）解:⎰+3021dx x x 解（4）:dx x ⎰+102147．推导下列三种矩形求积公式：证明：(1)将()f x 在x a =处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得(2)将()f x 在x b =处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得 (3)将()f x 在2a bx +=处Taylor 展开，得 两边在[,]a b 上积分，得8．如果()''0,f x >证明用复化梯形公式计算积分()bI f x dx a=⎰所得结果比准确值大，并说明其几何意义。

证明：复化梯形公式为若"()f x 在[,]a b 上连续，则复化梯形公式的余项为 由于2"()[,],f x C a b ∈且 所以(,)a b η∃∈使 则(1)式成为：又因为"()0,f x >所以2[]"()0.12Tn b a E f h f η-=-< 即用复化梯形公式计算积分()ba I f x dx =⎰所得结果比准确值大。

其几何意义：曲线()f x 在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。

9．对()3f x dx ⎰构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。

解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。

如果在[0,3]上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：其中系数为 0nb ik a i k ii k x x A dx x x =≠-=-∏⎰同理求得 123993,,.888A A A === 即有：33993()(0)(1)(2)(3).8888f x dx f f f f ≈+++⎰10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度： 解：插值型求积公式()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰ 其中 0nb ik ai k ii kx x A dx x x =≠-=-∏⎰则 3301002313,.122212x x A dx A dx --====--⎰⎰因此，33()[(1)(2)]2f x dx f f ≈+⎰是插值型的求积公式。

因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。

对于2()f x x =时，可见它对于2()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。

11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于()1,f x x =准确成立，于是有 解之得 0111,22A A ==， 于是有求积公式容易验证，它对于2()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。

解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有解之得 01011111,,,.221212ααββ====-于是有求积公式 容易验证当4()f x x =时，501();5h f x dx h =⎰而可见，它对于4()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。

解(3)：令原式对于2()1,,f x x x =准确成立，于是有0100A A -A A 011223112023h dx h h A x h A x h ⎧+==⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⎰解得: 01h 3A =,A =221,3hh x =于是有求积公式 13()()().223hh hf x dx hf h hf -≈-+⎰容易验证，当3()f x x =时，()0;hhf x dx -=⎰而 4134()().2239h hf h hf h -+=-可见，它对于3()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。

12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss 求积公式： 解（1）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有 利用(1)的第1式，可将第2式化为同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得 进一步整理 由此解出 0101510,.219x x x x =+= 解得：01010.821161913186,0.289949197925,0.3891110668436,0.27755599823.x x A A ====因此所求的两点Gauss 求积公式： 或依下面的思想：解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有 利用(1)的第1式，可将第2式化为同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得 进一步整理 由此解出 010136,.357x x x x =+= 解得：01010.115587109995,0.741555747146,1.30429030972,0.695709690284.x x A A ====因此所求的两点Gauss 求积公式： 或依下面的思想：13．分别用三点和四点Gauss －Chebyshev 求积公式计算积分1I -=⎰，并估计误差。

解：(1)用三点(2)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：此时，11(6)2945()()(2),64f x f x x -==-+由公式可得：由余项可估计误差为 325945|[]| 2.0133510.26!64E f π-≤=⨯g (2)用四点(3)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：此时，15(8)2945143()()(2),644f x fx x -==-⨯⨯+由余项可估计误差为 437945143|[]| 3.2132710.28!644E f π-≤⨯⨯=⨯g 14．用三点Gauss Legendre -求积公式计算积分0cos x I e xdx π=⎰，并估计误差。