绝密 * 启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试三套卷之数学（二）试卷 （模拟一）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）当0x →时，1(1sin )1xx x +−−与nx 是同阶无穷小，则n =（ ）． （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４【答案】（B ）. 【解】0x →时，1ln(1sin )2ln(1sin )sin (1sin )1=1~~~6x x x xx x x xx x x ex x +−+−−+−−−−，因此2n =.（2）2111lim()nin i j n i j →∞===++∑∑（ ） （A ）12(1)xdydx x y ++⎰⎰（B ）11200(1)dy dx x y ++⎰⎰（C ）11201(1)y dx dy x y −++⎰⎰ （D ）11200(1)y dxdy x y −++⎰⎰【答案】（A ）. 【解】原式=2221111lim(1)(1)nin i j Ddxdyi n j n n x y →∞==⋅=++++∑∑⎰⎰，0,:0 1.y x D x ≤≤⎧⎨≤≤⎩因此，（A ）正确的. （3）设1112arcsin xI dx x =⎰，1122arcsin x I dx x =⎰，1132ln(1)x I dx x +=⎰，1142ln(1)x I dx x =+⎰，则（ ）. （A ）12I I <且34I I < （B ）12I I <但34I I >（C ）12I I >且34I I > （D ）12I I >但34I I <【答案】（D ）. 【解】由于112x >>时，arcsin ,x x >ln(1)x x +<；故arcsin 1arcsin x x x x >>，ln(1)1ln(1)x x x x +<<+，因此12I I >且34I I <，选择（D ）. （4）设有曲线ln y x =与2y kx =，当12k e>时，它们之间（ ）． (A) 没有交点 (B) 仅有一个交点 (C) 有两个交点 (D) 有三个交点 【答案】（A ）. 【解法一】两曲线交点横坐标满足方程2ln 0kx x −=,令2111()ln ,()20,ln(2)22f x kx x f x kx x f k x '=−=−===+,当12k e >时有0f >,0lim (),lim ()x x f x f x +→+∞→=+∞=+∞,函数()f x在区间上单减,在)+∞上单增,因此方程2ln 0kx x −=无实根,即两个曲线没有交点，选（A ）. 【解法二】23ln 12ln (),(),x xf x f x x x−'==令()0f x '=得()0,()x x f x f x '=<<>单调增 ，且0lim ()x f x +→=−∞；()0,()x f x f x '><单调减，且lim ()0x f x →+∞=，故()f x在x =处取到最到最大值1,2f e =12k e>时，两曲线无交点，答案为（Ａ）． （5）曲线221,arctan ,12x y x x x x <−=⎪≥−⎪+⎩的渐近线条数是（ ）. （Ａ）1 （Ｂ）2 （Ｃ）3（Ｄ）4【答案】（C ）.【解】21lim ,1x x −→−=∞=−为铅锤渐近线；2limx =+∞，左边无水平渐近线；222lim1,lim )limx x x k b x →−∞==−==222211[(1())]1limlimx x x x o x →−∞−−+++==1,1y x =−=−−是斜渐近线;2limarctan ,222x x x y x ππ→+∞==+为水平渐近线.一共三条渐近线，选（C ）.（6）将极坐标系下的二次积分()2sin 24cos ,sin I d f r r rdr πθπθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，则I（ ）(A)1(,)xdx f x y dy ⎰.(B)10(,)x dx f x y dy ⎰.(C)121(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰.(D)1(,)ydy f x y dx ⎰.【答案】（C ）.【解】极坐标下的区域:02sin 42D r ππθθ≤≤≤≤，在直角坐标系下的区域为:,0D y x x x ===所围成，()2sin 204cos ,sin I d f r r rdrπθπθθθ=⎰⎰121(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰110(,)xdx f x y dx =⎰⎰,选（C ）.（7）已知4维列向量组123,,ααα线性无关，若=00,(1,2,3,1,2,34)Ti j j i j αββ≠==，，，则向量组1234,,,ββββ的秩1234(,,,)r ββββ=（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（A ）.【解】记123T T T A ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 是秩为3的34⨯的矩阵，由于j β与123,,ααα均正交，故j β是齐次方程组0Ax =的非零解，由于j β非零，故12341(,,,)()1r n r A ββββ≤≤−=，所以1234(,,,)1r ββββ=.（8）已知,A B 均为3阶矩阵，0A =，且满足3AB B O +=，若()2r B =，则行列式|2|A E +=（ ）．（A ）1 （B ）2 (C) 4 (D) 8【解】设123(,,)B βββ=，由(3)A E B O +=知，3λ=−是矩阵A 的特征值，且123,,βββ是特征值3λ=−的特征向量.由()2r B =，所以3λ=−至少有2个线性无关的特征向量.所以3λ=−至少是二重特征值.又因0A =，0λ=必是矩阵A 的特征值.从而A 的特征值是3,3,0−−，2A E +的特征值为1,1,2−−，故(1)(1)22A E +=−⨯−⨯=. 二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上. (9) 设()y f x =在0x =处连续，且1x →=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为 ．【答案】112y x =+. 【解】由题设有0(0)lim (sin )1x f f x →==，0(sin )(0)lim 2(0)1sin x x f x f f x →→−'===，得1(0)2f '=，故所求切线方程为112y x =+. （10）120191(1)()________x x I x x e e dx −−=+−=⎰.【答案】14.e −【解】由于x x e e −−为奇函数，故()x x x e e −−为偶函数，故2020()x x x e e −−为奇函数.111102()2()2()2()x x x x x x x x I x e e dx xd e e x e e e e dx−−−−=−=+=+−+⎰⎰⎰11102()2()4.xxe e e e e −−−=+−−=（11）心形线1cos r θ=+在(1,)2π处的曲率半径_______.R =【答案】3. 【解】(1cos )cos ,(1cos )sin ,x y θθθθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos 2,|1,sin sin 2dy dydx dx πθθθθθ=+==−−22cos cos 21()()()sin sin 2sin sin 2d y d dy d dy d d dx dx dx d dx dx d θθθθθθθθθ+==⋅=⋅−−−−3(sin 2sin 2)(sin sin 2)(cos cos 2)(cos 2cos 2)(sin sin 2)θθθθθθθθθθ−−−−−+−−=−−， 222|3d ydx πθ==−，曲率322(1)y K y ''=='+曲率半径3R =（12）已知可微函数()f x 满足21()d ()1()x f t tf x f t t=++⎰，则()f x =．【答案】.【解】等式两边对x 求导可得2()()()f x f x f x x'=+，因此函数()y f x =满足方程 2y y y x '=+，变形后可得dx xy dy y−=，该方程是一阶非齐次线性微分方程，通解为 ln ln 2()y y x e ye dy C y Cy −=+=+⎰，由题设知(1)1,0f C =−=，因此有2,()x y y f x ===()f x =，由(1)1f =−，因此有()f x =．（13）1lim1sin__________.n n →∞+−=【答案】π.【解】原式01111lim sin cos d 22nn i x xx x πππππ→∞====−⎰⎰2211(cos sin )+(sin cos )=2222x x x x dx dx ππππππ=−−⎰⎰. （14）设110000200001000A n n −⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭，则 *1()=A −_______. 【答案】1100010001!00210001n n n n +⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭(-1). 【解】 由于*11111100010001()=()!000210001n n A A A A n A n −−−−+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭(-1). 三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设1cos ,0,()lim(),0,bn n ax x x xf x n x c x n x →∞⎧+>⎪⎪=⎨+⎪+≤⎪−⎩，若()f x 在(,)−∞+∞内可导，试确定常数,,a b c的取值情况.【解】1cos ,0,()lim(),0,bn n ax x x xf x n x c x n x →∞⎧+>⎪⎪=⎨+⎪+≤⎪−⎩21cos ,0,,0,bx ax x x xe c x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩4分由于可导一定连续因此有01lim (cos )(0)1bx ax x f c x+→+==+，必有1,0c b =−>， 6分又201(0)lim 2xx e f x−−→−'==，01cos(0)limb x ax x x f x ++→+'=101lim cos 2b x a x x+−→=+=，所以有2,1a b =>.10分（16）（本题满分10分）设函数()f u 具有二阶连续导数，(0)1,(0)1f f '==−，且当0x ≠时22()z f x y =−满足等式222222222()(cos )2z z z x y y x z x y x x∂∂∂−−−=−+∂∂∂， 求函数()f u 的表达式．【解】2222222,24,2,24z z z z xf f x f yf f y f x x y y∂∂∂∂''''''''==+=−=−+∂∂∂∂，4分代入题设等式可得22222222224()()()[()cos ]2x y x y f x y y x f x y −''−−=−−+因此()f u 满足方程11()()cos 442u f u f u ''+=−， 6分 方程1()()04f u f u ''+=的通解为12()cos sin 22u u f u C C =+，方程11()()cos 44f u f u u ''+=−的特解可设为()(cos sin )22u u f u u A B *=+，代入方程可得1sin cos cos ,2242u u u A B −+=−解得10,4A B ==−.因而方程11()()cos442u f u f u ''+=−的通解为121()cos sin sin 2242u u u f u C C u =+−，由(0)1,(0)1f f '==−可得121,2C C ==−，因此1()cos (2)sin 242u uf u u =−+． 10分（17）（本题满分10分）计算二重积分2()sgn()x DI x x ye y x d σ=+−⎰⎰，其中:11,01D x y −≤≤≤≤，sgn()是符号函数.【解】折线y x =把D 分为12,D D 则2212()()x x D D I x x yed x x ye d σσ=−+++⎰⎰⎰⎰2分1222D D x d x d σσ=−+⎰⎰⎰⎰4分1112211xxdx x dy dx x dy −−=−+⎰⎰⎰⎰8分 111.263=−+=−10分（18）（本题满分10分）已知函数(,)z z x y =由方程 222232(1)z x xy y x y ze e −+−−+=−确定，求(,)z z x y =的极值．【解】分别对等式222232(1)zx xy y x y ze e −+−−+=−两边关于x 及y 求偏导可得21(1)0,zzx y z e x∂−−++=∂43(1)0zzx y z e y∂−+−++=∂， 令0,0z zx y ∂∂==∂∂可得210,430.x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩解得1x y ==，代入原方程可得2z =，因此点(1,1)是函数(,)z z x y =唯一的驻点，且有(1,1)2z=．2分对等式21(1)0zzx y z ex∂−−++=∂两边关于x 再求偏导可得 2222(1)(2)()0zz z z z e z e x x∂∂++++=∂∂， 将1x y ==,2,0z z x ∂==∂代入可得222(1,1)23z A x e∂==−∂， 4分对等式21(1)0zzx y z ex∂−−++=∂两边关于y 再求偏导可得 21(1)(2)0zz z z zz e z e x y x y∂∂∂−++++⋅=∂∂∂∂，将1x y ==,2,0z zz x y∂∂===∂∂代入可得22(1,1)13z B x y e ∂==∂∂， 6分对等式43(1)0zzx y z ey∂−+−++=∂两边关于y 再求偏导可得 2224(1)(2)()0zz z z z e z e y y∂∂++++=∂∂，将1x y ==,2,0zz y∂==∂代入可得222(1,1)43z C y e∂==−∂， 8分因而有242720,093AC B A e e−=>=−<，因此(1,1)2z =是函数(,)z x y的极大值．10分 （19）（本题满分10分）设0x >，求使不等式a xx e ≤成立的正数a 的最大值．【解】0a >，当(0,1]x∈时上述不等式显然成立； 2分当1x >时上述不等式等价于ln x a x ≤，因此只要取a 为函数()ln xf x x=在(1,)+∞内最小值即可，2ln 1()ln x f x x−'=，令()0f x '=得x e=， 6分 当(1,)x e ∈时()0f x '<，当(,)x e ∈+∞时()0f x '>，8分 因而()ln xf x x=在x e =处取得最小值，且有()f e e =，因此a 可以取的最大值为e．10分（20）（本题满分11分）设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)0f f ==，且()f x 在[0,1]上的最大值及最小值均在(0,1)内取到．证明：（Ⅰ）在(0,1)内存在两个不同的点12,ξξ使得()(),1,2k k f f k ξξ'==；（Ⅱ）存在(0,1)η∈使得()+()2()f f f ηηη'''=． 【证明】（Ⅰ）由题设知在(0,1)存在两个不同的点12,x x ，且有12[0,1][0,1]min {()}=()0,max{()}=()0x x f x f x f x f x ∈∈<>，此处不妨设12x x <，由于12()()0f x f x <，由连续函数的零点定理知存在012(,)x x x ∈，使得0()0f x=，2分令()()xF x f x e −=，4分 则有0(0)()(1)0F F x F ===，由Rolle 定理知存在1020(0,),(,1)x x ξξ∈∈使得12()()0F F ξξ''==，由()[()()]x F x f x f x e −''=−可得在(0,1)存在两个不同的点12,ξξ使得()(),1,2k k f f k ξξ'==；6分（Ⅱ）由于()+()2()()()+2(()())0f f f f f f f ηηηηηηη'''''''=⇔−−=，令2()[()()]xG x f x f x e '=−， 9分由（Ⅰ）的证明知12()()0G G ξξ==，由Rolle 定理知12(,)(0,1)ηξξ∃∈⊂使得22()[()()]2[()()]0F f f e f f e ηηηηηηη'''''=−+−=，关注微信公众号【考研成长笔记】点滴记录，用心成长即有()+()2()f f f ηηη'''=．11分（21）（本题满分11分）某容器的外表面是2(0)y x y H =≤≤绕y 轴旋转所围成的曲面，其容积为450π3m ，其中盛满水，如果将水全部抽出，问至少需要做多少功？【解】由公式2214502HV dy H πππ===⎰，因此，30H m =.6分取y 为积分变量，[0,30]y ∈，任取子区间[,]y y dy +，功的微元为2(30)(30)dW x g y dy gy y dy πρπρ=−=−,其中ρ为水的密度，g 为重力加速度,9分 将水全部抽出，至少需要做功30(30)4500(J)W gy y dy g ππρ=−=⎰.（J 为功的单位焦耳）11分（22）（本题满分11分） （I ）设有向量组（I ）1231110,1,2,12a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα（II ）1211201b −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭β,β.（I ）问,a b 为何值时，向量组（II ）不能由向量组（I ）线性表示？（II ）设11111012,20121a b −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，问,a b 为何值时矩阵方程=AX B 有解，有解时求出其全部解.【解】（I ）123121111111111(,,,,)012200122012101121ra b a b −−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭αααβ,β111110122000301a b −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 4分3,1a b =≠时，12,ββ不能由123,ααα,表出，3,a b ≠任意，12,ββ 均可由123,ααα,表出，且表示法唯一；3,1a b ==时，12,ββ 均可由123,ααα,表出，且表示法不唯一； 5分（II ）3,1a b ==时10131()0122000000rA|B −−⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，=AX B 有无穷多解，解得31222,,k l X k l k l k l −++⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.8分当3,a b ≠任意时, 10131()0122000301rA|B a b −−⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭=AX B 有唯一解，且13132(1)23103b a b X a b a −⎛⎫−+ ⎪− ⎪−− ⎪= ⎪− ⎪− ⎪ ⎪−⎝⎭.11分（23）（本题满分11分）设三元二次型123(,,)Tf x x x x Ax =经正交变换x Qy =化为标准形236y ，且AB O =，12(,)B αα=，其中12(1,1,1)(2,1,0)T Tαα=−−=−，， (I) 求所用的正交变换x Qy =及二次型123(,,)T f x x x x Ax =的表达式;（II ）求8(3)A E −.【解】（I ）由112200,00,A A αααα====知特征值12==0λλ，12,αα是矩阵A 的属于特征值12==0λλ的线性无关的特征向量，又3=6λ是A 的特征值，设其对应的特征向量为为3123(,,)Tx x x α=,则123120,20,x x x x x −−=⎧⎨−+=⎩解得特征向量为3(1,2,1)Tα=−;3分将12,αα正交得令11211=1,=011βαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，单位化有123111102111γγγ，，⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−⎭⎭⎭，令0⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝，经1122330x yx y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝,化二次型 236T T f x Ax y y y ==Λ=；5分由1233(,,)(0,0,6)A αααα=,得13123121(0,0,6)(,,)=242121A αααα−−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭，11 或者110012100624266121T T T Q AQ A Q Q γγ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒===− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222123123121323(,,)4424T f x x x x Ax x x x x x x x x x ==+++−−.7分(II)因为1006Q AQ −⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,有133)333Q A E Q E −−⎛⎫ ⎪−=Λ−=− ⎪ ⎪⎝⎭（,从而 18818883)33)33Q A E Q E Q A E Q E E （（）（（）−−−=Λ−⇒−=Λ−=,所以888188833)3333A E Q E Q E （（）−⎛⎫ ⎪−=Λ−== ⎪ ⎪⎝⎭.11分。