UN

f x
2
U
2 x


f y
2

U
2 y


f z
2
U
2 z
UN
k
2U
2 x

m2U
2 y

n2U
2 z
若N x y，则U N
U2 x

U
2 y
不确定度传递公式——举例
(2) 倍数关系
y kx
U y
(
f x
x
n
4.常用仪器的误差
仪器误差Δ仪
指针式电表 Δ仪=量程×精度% 精度级别分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、 5.0七级。
例 计算量程为30mA 、0.5 级的安培表的仪器误差：
△仪＝30 mA×0.5％＝0.2 mA
4.常用仪器的误差
仪器误差Δ仪
钢直尺 Δ仪=0.5 mm（最小分度的一半）

2.04
1.98
1.97

2.01)

2.00cm
n
(ai a)2
Sa
i 1
n 1
(2.01 2.00)2 (1.99 2.00)2 (2.04 2.00)2 (1.98 2.00)2 (1.97 2.00)2 (2.01 2.00)2 6 1
如函数关系式为混合运算，则由不确定度的 传递公式推导。
N f (x, y, z )
测量结果表示：物体的长度的真值有95%以上的可能位 于区间（10.10,10.20）cm.
1.测量
直接测量：用仪器直接测量出被测量 的大小。
间接测量：用若干直接测量量代入一 定的函数式计算得出的物理量的大小。
1.测量
用钢直尺分别测量圆柱体的直径D、高 度H和体积V。
V 1 D2H
4
UN

Ux x ln10
和差关系——先求UN较方便， 乘除关系（含幂次关系——先求EN较方便。
N kx my nz
UN
k
2U
2 x

m2U
2 y

n
2U
2 z
N Ax k ym zn
EN
k
2 Ex2

m2
E
2 y

n2 Ez2
EN
UN N
由 EN 可求出 U N 由 U N 可求出 EN
误差
设x0为真值，x为测量值，误差ε=x- x0 常用多次测量的算术平均值来近似代替真值，称 为近似真值。
偏差
偏差 x x x
3.误差的性质和分类
按误差产生的原因和特性，误差可分为： (1)系统误差 (2)随机误差
3.1系统误差的定义
在相同测量条件下多次测量同一物理量 时，误差的绝对值和符号保持恒定，或 在测量条件改变时，按某一确定规律变 化的误差。
)2U
x
2

kUx
不确定度传递公式——举例
（3）乘除关系 N xy
UN

f x
2

U
2 x


f y
2
U
2 y
UN
y
2U
2 x

x
2U
2 y
EN
UN N
EN
y 2U
2 x

x2U
2 y

( yU x )2 ( xU y )2
( U x )2 ( U y )2
间接测量结果的表达
2．间接测量不确定度的合成(不确定度的估算）
若Ux、Uy、Uz、 …为已知，由误差理论可 以证明，N的不确定度传递的近似公式为：
UN
( f )2 x
U2x

(f )2 y
U2y


此式称为不确定度的传递公式。
间接测量结果的表达
3.间接测量结果的表达
N (N UN ) 单位
当重复测量的次数达到一定数量时， 就误差 的整体而言，这些误差具有统计规律，其中 一种是正态分布（见图）.
3.2随机误差的性质
进行了n次等精密度测量，获得了n个数据
x1, x2, x3, …… xn
及它们的误差 ε1，ε2，ε3，……εn
1.有界性 , f ( ) 0
2.单峰性 1 2 f (1 ) f (2 )
未定系统误差：原因复杂，用误差限的 方法进行估算。
3.1系统误差的性质
系统误差总是使测量结果偏向一边，即 或者偏大，或者偏小，因此多次测量不 能减小和消除系统误差。
3.2随机误差的定义与性质
在相同测量条件下多次测量同一物理量时， 误差的绝对值和符号随机变化，时大时小， 时正时负，以不可预定方式变化。
不确定度表征被测量的真值以一定的概率 落在某一量值的估算。不确定度的大小，反映 了测量结果的可信赖度。
不确定度是对测量误差的一种综合评价。
5.测量误差用不确定度表示
不确定度划分为两类：
A类分量ΔA，用统计方法估算，如标准差S；
B类分量ΔB，用其他方法估算，
如仪器误差Δ仪。
5.测量误差用不确定度表示
4. 求不确定度 Ux 2A 2B
5. 写出最终表示式 x x Ux 单位
多次直接测量例题
用钢直尺测量一正方形，边长数据为 ai(cm)：2.01，1.99，2.04，1.98，1.97，2.01，试用不确定度表示 边长a的测量结果。
a

1 6
6
ai
i1

1 6
(2.01 1.99
3.对称性 f ( ) f ( )
4.抵偿性
lim
n
1 n
n i 1
i

0
f( )
1
e
2 2 x
2
2 x
x

2 i
标准误差
n
当 0，f ( )出现峰值 1 2 x
f( )
1
e
2 2 x
2
2 x
x2
ΔA由标准偏差 S x 估算：
S
A
x
n

(
x i

x)2
i 1
n 1
(当 5<n≤10 时，置信概率接近或大于95%).
A tsx
(n 5) n
直接测量结果的表达
ΔB约等于仪器误差，置信概率≥95%
B 仪
U
2 2
A
B
S2 x

2 仪
多次直接测量结果的计算归纳
xy
xy
xy
x
y
EN
Ex2

E
2 y
不确定度传递公式——举例
（4）幂次关系
N xk ym zn
f Aym znkxk1 x
f Ax k z nmy m1 y
f Axk ym (nzn1) z
EN
UN N

k
2 (U x
)2

m
2
U (
y
)2

n2 (U z
置信系数t( p, n 1)
图 t分布曲线 k=n-1=1, 2，5, ∞
置信系数t( p, n 1)
测量次数 4
5
6
7
8
9
10
n
t(p=0.683) 1.198 1.142 1.111 1.091 1.077 1.067 1.019
t(p=0.95) 3.183 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262
0.03cm
A＝Sa 0.03cm
△B＝ △仪= 0.05cm
多次直接测量例题
Ua
2 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 B

0.032 0.052 0.06cm
a (a Ua ) (2.00 0.06)cm
Ea

Ua a
100%

0.06 2
100%

3%
单次直接测量结果的表达
4
5
6
t(p=0.95)
t(p=0.95)/ n
3.183 1.592
2.776 1.241
2.571 1.050
7 2.447 0.925
8 2.365 0.836
9 2.306 0.769
10 2.262 0.751
当5

n
10时，x

x

tsx n
简化为

x

x

sx ,
p 95%
当n 5时，x x ts x tsx , p 95%
3.1系统误差的定义
R测

U I

R真
3.1系统误差的来源
理论和方法原因（伏安法测电阻时 没 有考虑电表的内阻）
仪器和设备原因（天平不等臂或 没调水平，电表零点不准）
环境原因或个人原因等（环境温度随时间 变化）
3.1系统误差的分类
系统误差按可掌握的程度可分为:
可定系统误差：可设法减小或修正。
不确定度可近似等于A类分量和B 类分量的方和根，
U 2 2
A
B
5.测量误差用不确定度表示
测量结果的最终表达形式
x (x U ) 单位 ( p 0.95) x U
E x 100% xx