华东理工大学 网 络 教 育 学 院
本科《离散数学》第三阶段练习
一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“⨯”）
1、若R 、S 均为集合A 上的等价关系，则S R ⋃也是A 上的等价关系。
（ ⨯ ）
2、},,{c b a X =，则},,,,,{><><><=c c b b a a r 是相容关系。
（ √ ）
3、半群就是运算满足封闭性且存在幺元的代数系统。
（ ⨯ ） 4、设f g 是复合函数，如果f g 是入射的，那么f 是入射的。
（ √ ） 5、对集合}1010{≤≤-=x x A ，定义在其上的运算||y x -是封闭的。
（ ⨯ ） 6、复合函数1)(-g f 存在，那么函数f 与g 必为双射函数。
（ ⨯ ） 7、独异点一定是半群。
（
√ ） 8、群中的每个元素都有逆元，但对应的逆元不唯一。
（ ⨯ ） 9、群与其任一子群具有相同的幺元。
（ √ ） 10、交换群就是对运算满足交换律且每个元素都有逆元的独异点。
（ √ ） 11、群中无零元。
（ √ ） 12、交换群必定是循环群。
（ ⨯ ） 13、循环群中的生成元一定是唯一的。
（
⨯
）
14、记集合},{b a A =的幂集为)(A P ，则代数系统>⊕<),(A P 构成交换群。
（ √ ）
二、右图是集合}4,3,2,1{=A 上的一个偏序关系
R 的关系图，（1）写出关系R 的全部序偶；（2）求出COVA ；（3）画出R 的哈斯图；（4）R 是否为全序关
系？是否为良序关系？
解：
（1）}4,4,4,3,2,3,1,3,3,3,2,2,4,1,2,1,1,1{><><><><><><><><><=R ； （2）}1,3,4,1,2,1{><><><=COVA ； （3）哈斯图如右所示：
(4) R 不是全序关系，也不是良序关系
三、已知集合}5,4,3,2,1{=P 上的一个偏序关系R 的哈斯图如下所示，
1、分别找出下列子集的上界上确界，下界、下确界。
2、试求P 的所有极大元、极小元、最大元、最小元； 解：集合P 的 极大元：1； 极小元：3，5； 最大元：1； 最小元：无
四、填空题
对于实数集合R ，下表所列的二元运算是否具有左边一列中的那些性质，请在相应的位置上添上“是”或“否”。
五、设>*<,S 是一个半群，而且对于S 中的元素a 和b ，如果a b b a *=*，则有b a =，
试证明：
1、对于S 中任一个元素b ，必有b b b =*；
2、对于S 中任一个元素a 和b ，必有a a b a =**。
证明：1、因为)()(b b b b b b b b b **=**=**，所以由题设即知有b b b =*。
证明：2、由a b a a a a b a a a a b a a a b a ***=****=***=***)()()()(，即知
a a
b a =**
其中利用了题1的结果：S a ∈∀，有a a a =*。
六、设>*<,R 是一个代数系统，*是实数集合R 上的一个二元运算，它使得对于R 中
的任意元素a 、b ，都有
b a b a b a ⋅++=*
其中的运算“+”、“⋅”即为实数的加法、乘法。
试证明：0是幺元，且>*<,R 独异点。
证明：（1）R a ∈∀，由a a a a =⋅++=*000即知，0是幺元。
（2）R b a ∈∀、，显然R b a b a b a ∈⋅++=*，即封闭性成立； 又R c b a ∈∀、、，有
c b a b a c b a b a c b a b a c b a ⋅⋅++++⋅++=*⋅++=**)()()(）（ )()(c b c b a c b c b a c b a c b a c b a ⋅++⋅+⋅+++=*⋅+*+=**）（）（）（
显然上两式相等，即满足可结合性，综合得0是幺元，且>*<,R 独异点。
七、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群，试证明>*⋂<,K H 也是
>*<,G 的子群。
证明：K H b a ⋂∈∀、，因为>*<,H 和>*<,K 都是子群，所以K H b ⋂∈-1
，
由于*运算在K H 、中的封闭性，所以有K H b
a ⋂∈*-1
，由非空子集成为子群的充分条
件（课本196p 的定理5--4.8）即得>*⋂<,K H 也是>*<,G 的子群。
八、设>*<,G 是个独异点，并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*，其中e 是幺
元，证明>*<,G 是一个阿贝尔群。
证明：由G x ∈∀，都有e x x =*成立，及e 是幺元，即知x x =-1
，亦即G 中每个元
素的逆元都是其自身。
故>*<,G 已经是个群了。
又G b a ∈∀、，由封闭性显然有G a b ∈*，且由前段结论，又有a a
=-1
，b b =-1，
a b a b *=*-1)(进而有
a b a b a b b a b a *=*=*=*=*-----11111)(
即*在G 中满足交换性。
综合即得>*<,G 是一个阿贝尔群。