离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）
A．p∧┐p∧q B．┐p∨q
C．┐p∧q D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q
C．p∧q D．p∧┐q
3．下列语句中是命题的只有（ A ）
A．1+1=10 B．x+y=10
C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2
4．下列等值式不正确的是（ C ）
A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A
B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
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C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)
5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）
A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）
A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B
C．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B
8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
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B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)
D．a*b=a(mod b)
10.设R和S是集合A上的关系,R∩S必为反对称关系的是( A ) A．当R是偏序关系,S是等价关系; B．当R和S都是自反关系; C．当R和S都是等价关系; D．当R和S都是传递关系
11.设R是A上的二元关系,且R·R R,可以肯定R应是( D ) A．对称关系; B．全序关系; C．自反关系; D．传递关系
第二部分非选择题
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二、填空题
1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于
命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

2．设R 为A 上的关系，则R 的自反闭包r(R)= _R ∪A I _ ，对称闭包s(R)= _R ∪R ~。

3．某集合A 上的二元关系R 具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R 是 A I _ ，
其关系矩阵是 只有主对角线上元素为1 。

三、计算题
1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：)0y x )(x )(y (=+∀∃。

2．用等值演算求下面公式的主析取范式。

)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝
3．用等值演算法求公式
)
(
)
(Q
P
Q
P⌝
→
↔
→
⌝的主合取范式。

4．（6分）在偏序集<Z,≤>中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除关系，求集合D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。

5．设集合A={1,2,3,4,5},A上的划分为π＝{{1,2,3},{4,5}},试求：
1)写出划分π诱导的等价关系R；
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M；
2)写出关系矩阵R
3)画出关系图。

6. 设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解r(R)＝R∪I A＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>，<a，a>，<b，b>，<c，c>，<d，d>}
s(R)＝R∪R-1＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>，<c，b>，<d，c>}
R2＝{<a，a>，<a，c>，<b，b>，<b，d>}
R3＝{<a，b>，<a，d>，<b，a>，<b，c>}
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R 4＝{<a ，a >，<a ，c >，<b ，b >，<b ，d >}＝R 2
t (R )＝i
i R ∞
=1
＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c >，<c ，d >，<a ，a >，<a ，c >，<b ，b >，<b ，d >，<a ，
d >}
四、证明题
1．设R 和S 是二元关系，证明1
11)(---=S R S R
2．设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。

3．设R 是A 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当
R R ⊆2
，其中2R 表示R R ∙。

4．证明下列结论：
（1）R
⇒
∧
∨
P→
→
Q
P
R
Q
（2）D
∧
→
→),
⌝
)
(
(
),
(
∧
C
D
A
∨
B
A⇒
C
B
A
解：（1）1 P∧Q P附加前提
2 P T，1，I
2
3 P∨Q T，2，I
1
4 P∨Q→R P
5 R T，3，4，I
3
6 P∧Q→R CP
（2）1 ⌝D P假设前提
2 D∨A P
3 A T，1，2，I
5
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4 (A→B)∧(A→C) P
5 A→B T，4，I
2
6 B T，3，5，I
3
7 A→C T，4，I
2
8 C T，3，7，I
3
9 B∧C T，6，8 ，合取式
10 ⌝（B∧C）P
11 （B∧C）∧⌝（B∧C） T，9，10，合取式，矛盾
5.已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，
[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：∀x∈A，因为R和S是自反关系，所以<x,x>∈R、<x,x>∈S，因而<x,x>∈R∩S，故R∩S是自反的。

∀x、y∈A，若<x,y>∈R∩S，则<x,y>∈R、<x,y>∈S，因为R和S是对称关系，所以因<y,x>∈R、<y,x>∈S，因而<y,x>∈R∩S，故R∩S是对称的。

∀x、y、z∈A，若<x,y>∈R∩S且<y,z>∈R∩S，则<x,y>∈R、<x,y>∈S且<y,z>∈R、<y,z>∈S，因为R和S是传递的，所以因<x,z>∈R、<x,z>∈S，因而<x,z>∈R∩S，故R∩S 是传递的。

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总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S⇔<x,a>∈R∩S⇔
<x,a>∈R∧<x,a>∈S⇔ x∈[a]R∧x∈[a]S⇔ x∈[a]R∩[a]S
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、应用题
1．所有的主持人都很有风度。

李明是个学生并且是个节目主持人。

因此有些学生很有风度。

请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。

（论述域：所有人的集合）
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