易拉罐最优设计模型（2006年全国一等奖）摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。

在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。

对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。

对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。

并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。

当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。

这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。

最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。

从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为：9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。

最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。

关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

符号说明h:易拉罐的总高度；b：罐壁的厚度；b：顶盖的厚度；1b：底盖的厚度；2r:易拉罐中间柱体的内半径；r：顶盖的半径；1r：底盖的半径；2h：易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离；1h：易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离；2h：易拉罐底盖的拱高；3A:制作易拉罐所用材料的总体积；V:罐装饮料的容积（由于半径和高度都远远大于易拉罐材料的厚度，即可将易拉罐的体积看成是容积）；图一模型假设（1）易拉罐为无损坏的净含量355ml的可口可乐饮料罐；（2）不考虑温度对易拉罐形状和尺寸设计的影响；（3）不考虑罐内气体压强对易拉罐形状和尺寸设计的影响；（4）不考虑接缝折边的长度L；（5）长度的量纲为毫米。

模型分析、建立与求解一、测量认为验证模型所需要的数据取一个无损坏净含量355ml的可口可乐饮料罐，利用千分卡尺测量我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据。

并把所测得的数据用表一加以说明。

表一如下：检测部位可口可乐罐均值（单位：毫米）易拉罐的总高度(h) 122.90易拉罐顶盖的厚度(1b) 0.31易拉罐底盖的厚度(2b) 0.30易拉罐罐壁的厚度(b) 0.15易拉罐中间柱体的半径（r）31.75易拉罐顶盖的半径(1r) 29.07易拉罐底盖的半径(2r) 26.75易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离(1h) 13.00易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离(2h) 7.30易拉罐底盖的拱高(3h) 10.10二、易拉罐为正圆柱体时的最优模型模型Ⅰ的分析、建立与求解。

根据任务2给出的信息，将饮料罐假设为正圆柱体，如图二所示。

图二事实上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化问题确实是近似的、合理的。

要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。

在这种简化下显然有r =1r =2r ，由假设得到h r V 2π= 。

由于易拉罐上底和下底的强度必须要大一点（经千分卡尺的实际测量结果为：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力学应力状态理论知识告诉我们二向应力中，上、下底所受的应力是罐壁所受应力的2倍]1[），因而在制造中，上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍，即1b =2b =2b 。

因而制罐用材的总体积为：b rh r rhb b r b r h r A )24(222),(222πππππ+=++=注意：易拉罐侧面材料的体积应为 2222)(hb rbh r h b r h ππππ+=-+，因为b (测量所得b =0.15)远远小于r (测量所得r 2=63.50)，所以2hb π可以忽略,于是我们建立了以下A 为目标函数，h r V 2π=是约束条件的数学模型：),(min 0,0h r A h r >>h r V 2π=其中V 是已知的（由模型假设可知）。

从h r V 2π=解出2r V h π=，代入A ，使原问题化为求h d :使A 最小，即，求r 使]42[))(,(2r rV b r h r A π+=最小。

应用不等关系式：∑∏==≥ni n n i i i a a n 111，i a ＞0，n i ,,1 =，当且仅当n a a a === 21时等号成立。

于是有：32246]42[2V b r r V b ππ≥+， 当且仅当24r rV π=时等号成立，即34πV r =， 再由2r V h π=，得r V VV V V h 444)4()4(33233232====πππππ 即总罐高h 应为半径的4倍，这是易拉罐的最优设计。

这与用千分尺所测得029.4:=r h 几乎完全一致。

这一结果同时也验证了我们所测量的可口可乐易拉罐高度与半径尺寸设计的合理性。

三、易拉罐为正圆台与正圆柱体组合的最优模型与模型Ⅰ类似，模型Ⅱ是模型Ⅰ的深入。

根据任务2给出的信息，将易拉罐的外形看成两部分（如图三）：一部分是一个正圆台，另一部分是一个正圆柱体。

图三要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。

在这种形状下还是1b =2b =2b ，根据圆台的体积公式得到罐装饮料正圆台部分的体积1V =1222221)(31h r r r r πππ++，从而得到易拉罐的体积为 V =)()(311211221h h r h r r r r -+++ππππ。

易拉罐上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍。

制罐用材的总体积为： A=b h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2122121211221-++-+++πππππ =V )()(311211221h h r h r r r r -+++ππππ 建立以下的数学模型：),(min 0,0h r A h r >>=b h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2122121211221-++-+++πππππ ..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>>-+++=15.0,355000)()(31111211221b V r r h h h h r h r r r r V ππππ利用LINGO 数学软件（见附件一）算得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====9148.1203674145.057185.3083883.29095.520611min h h r r A这就是图三所示易拉罐的最优设计。

我们可以很清晰的看到除了易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离(1h )与实际所测得的数据相差较大外,其余几项仍然与我们所测量的数据相吻合。

如果不忽略易拉罐侧面的厚度b ，并将易拉罐整体看成有两个规格形状一样、大小不一（一个稍大的在外面、一个稍小的在里面）紧密的叠套在一起的物体，制作易拉罐所用材料的总体积A 就相当于外面稍大物体的总体积减去里面稍小物体的总体积，即A =[)()(311211221h h r h r r r r -+++ππππ] {})()(])())(()([311212121h h b r h b r b r b r b r --+-+--+--ππππ 但是b r >>，所以在计算制作易拉罐所用材料的总体积A 时忽略了b ，采用了表面积乘以厚度等于总体积的方法来计算制作易拉罐所用材料的总体积A ，即A =b h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2122121211221-++-+++πππππ。

由于在模型中采用了简单的计算体积方法（sb V =，体积等于面积乘以厚），并且在计算过程中总会出现误差，不是那么精确，所以导致计算结果和所测得的数据有一点点的出入。

但为什么计算所得的易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离和所测得到的数据会相差这么大？我们对此问题进行了思考，再借助对可口可乐饮料罐的观察和研究，从而发现了可口可乐饮料罐底盖是向上拱起的，而我们计算时是把易拉罐的下面部分看成正圆柱体的，没有考虑底盖是向上拱起的，由此容积减少了，而减少的那部分体积正好体现在圆台高度上了，所以才导致了计算所得的易拉罐盖顶到圆台底端的垂直距离(即:1h )与所测得的数据相差过大的这一现象。

我们将在任务四中加以认证。

四、最优模型对于问题4，我们根据模型Ⅱ，从经济、耐压力、美观和实用性这四个方面出发建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ。

1.从经济角度考虑，把原料最省作为目标函数。

2.从易拉罐的耐压性考虑，又要求上、下底面比侧面厚，在这种形状下还是1b =2b =2b ，但是根据第二个模型的推论，把底盖设计成瓦楞的形状。