探究发现
（3）将图①中的 绕点 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为 ， 在旋转的过程中，当直线 经过点 时，如图③，请求出线段 的长.
（4）在旋转过程中，在 和 中，始终有由 ，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.
【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3） ；（4）
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．
∴AC＝2t＝ ．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
2．如图，在边长为2的正方形 中，点 、 分别是边 、 上的两个动点（与点 、 、 不重合），且始终保持 ， ， 交正方形外角平分线 于点 ， 交 于点 ，连结 ．
（3）连结 ，若 ，
则 ．
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，得 ．
解这个方程，得 ， （舍去）．
当 时， ．
此时， ，∴ ，
∴
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．
，
， ，
；
（2）证明：如下图，连接 ，
由旋转可知 ， ，
又∵AC=BC，
，
，
是 的中点， 是 的中点， 是 的中点，
，
；
（3）解：由题意可得 都是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
是 的中点， ，
；
（4） .
连接AD，由（3）知， ，
∵ 是等腰直角三角形，
（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将 绕点 顺时针旋转 得 ，再证明 ；
（3）连结 ，设 ，推出 是等腰直角三角形°，再证明 ，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF， ， ，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出△AQF的面积．
【详解】
（1）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
（2）由（1）知 ．
∴ ．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∴ ，
如图4，将 绕点 顺时针旋转 得 ，
其中点 与点 重合，且点 在直线 上，
则 ， ， ，
∴ ．
∴ ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为 ，求线段AC的长．
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴△PBC是等边三角形，
∴ PC2＝ ，
∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，
∴AC＝2t，
∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°，
∴AD＝ AC＝t，CD＝ AD＝ t，
∵PD2+CD2＝PC2，
∴（2t）2+3t2＝9，
∴t＝ （负值舍去），
九年级数学上册 旋转几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝ AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且 ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．
【解析】
Байду номын сангаас【分析】
（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；
（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC可知 ，进而通过中位线定理即可得到 ；
（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF的长，再由 即可求出BD的长；
（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知 .
【详解】
（1） ，
，
是 的中点， 是 的中点， 是 的中点，
3．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形 和 ，其中 .
观案发现
（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设 的中点是 的中点是 的中点是 ，则 ______度；
操作证明
（2）将图①中的 绕点 顺时针（逆时针）旋转，使点 三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时 ，请你帮助小明证明这个结论.
（2）成立，理由如下，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；
（1）求证： ；
（2）证明： ；
（3）设 ，当 为何值时， ，并求出此时 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当 时， ； ．
【解析】
【分析】
（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；