基于Burg 算法的最大熵谱估计一、 实验目的使用Matlab 平台实现基于Burg 算法的最大熵谱估计二、 Burg 算法原理现代谱估计是针对经典谱估计方差性能较差、分辨率较低的缺点提出并逐渐发展起来的，其分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。

而参数模型谱估计主要有AR 模型、MA 模型、ARMA 模型等，其中AR 模型应用最多。

ARMA 模型功率谱的数学表达式为：212121/1)(∑∑=-=-++=p i i j i q i i j i j e a e b e P ωωωσ其中，P(e j ω)为功率谱密度；s 2是激励白噪声的方差；a i 和b i 为模型参数。

若ARMA 模型中b i 全为0，就变成了AR 模型，又称线性自回归模型，其是一个全极点模型： 2121/)(∑=-+=p i i j i j e a e P ωωσ研究表明，ARMA 模型和MA 模型均可用无限阶的AR 模型来表示。

且AR 模型的参数估计计算相对简单。

同时，实际的物理系统通常是全极点系统。

要利用AR 模型进行功率谱估计，必须由Yule - Walker 方程求得AR 模型的参数。

而目前求解Yule - Walker 方程主要有三种方法: Levinson-Durbin 递推算法、Burg 算法和协方差方法。

其中Burg 算法计算结果较为准确，且对于短的时间序列仍能得到较正确的估计，因此应用广泛。

研究最大熵谱估计时，Levinson 递推一直受制于反射系数K m 的求出。

而Burg 算法秉着使前、后向预测误差平均功率最小的基本思想，不直接估计AR 模型的参数，而是先估计反射系数K m ，再利用Levinson 关系式求得AR 模型的参数，继而得到功率谱估计。

Burg 定义m 阶前、后向预测误差为：∑=-=mi m m i n x i a n f 0)()()( (1)∑=*--=mi m i n x i m a n g m 0)()()( (2) 由式（1）和（2）又可得到前、后预测误差的阶数递推公式：)1()()(11-+=--n g K n f n f m m m m (3))1()()(11-+=--*n g n f K n g m m m m (4)定义m 阶前、后向预测误差平均功率为：∑=+=Nmn m m m n g n f P ])()([2122(5) 将阶数递推公式（3）和（4）代入（5），并令0=∂∂mmK P ，可得∑∑+=--+=*---+--=N m n m m N m n m m m n gn f n g n f K 12121111])1()([21)1()((6)三、 Burg 算法递推步骤Burg 算法的具体实现步骤：步骤1 计算预测误差功率的初始值和前、后向预测误差的初始值，并令m = 1。

210)(1∑==N n n x N P)()()(00n x n g n f ==步骤2 求反射系数∑∑+=--+=*---+--=N m n m m N m n m m m n g n f n g n f K 12121111])1()([21)1()(步骤3 计算前向预测滤波器系数),()()(11i m a K i a i a m m m m -+=*-- 1,...,1-=m im m K m a =)(步骤4 计算预测误差功率12)1(--=m m m P K P步骤5计算滤波器输出 )1()()(11-+=--n g K n f n f m m m m)1()()(11-+=--*n g n f K n g m m m m步骤6 令m ← m+1，并重复步骤2至步骤5，直到预测误差功率P m 不再明显减小。

最后，再利用Levinson 递推关系式估计AR 参数，继而得到功率谱估计。

四、 程序实现%%%%%%%%%%%%基于Burg 算法的最大熵谱估计的Matlab 实现%%%%%%%%%%%% %%%设置两正弦小信号的归一化频率分别为0.175和0.20，信噪比SNR=30dB 、N=32%%% clear,clc; %清空内存及变量N=32; %设置离散傅里叶变换点数，即最大阶数N 为32 SNR=30; %信噪比SNR 取为30dBfs=1; %采样频率取为1Hzt=1:N; %采样时间点从1变化到Nt=t/fs; %得到归一化频率采样点y=sin(2*pi*0.175*t)+sin(2*pi*0.20*t); %信号归一化频率分别取为0.175和0.20 x=awgn(y,SNR); %在信号y 中加入高斯白噪声,信噪比为SNR 设定的数值 M=1; %设置起始计算的阶数M 为1P(M)=0; %预测误差功率初值设为0Rx(M)=0; %自相关函数初值设为0for n=1:N %样本数从1变化到NP(M)=P(M)+(abs(x(n)))^2; %计算预测误差功率和的初始值ef(1,n)=x(n); %计算前向预测误差初值，令其等于此时的信号序列 eb(1,n)=x(n); %计算后向预测误差初值，令其等于此时的信号序列 endP(M)=P(M)/N; %计算出预测误差功率的初始值Rx(M)=P(M); %设定自相关函数初始值M=2; %设置起始计算的阶数M 为2A=0; %微分所得反射系数Km 的分子，初始值设为0 D=0; %微分所得反射系数Km 的分母，初始值设为0 for n=M:N %AR 阶数由M 变化到NA=A+ef(M-1,n)*eb(M-1,n-1); %计算分子的和D=D+(abs(ef(M-1,n)))^2+(abs(eb(M-1,n-1)))^2; %计算分母的和（即M阶前、后向预测误差平均功率) endKm=-2*A/D; %计算反射系数Km（此时起始阶数为2）a(M-1,M-1)=-2*A/D; %计算前向预测滤波器系数P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km))^2); %计算预测误差功率FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M); %设置最大预测误差平均功率TH=FPE(M-1);for n=M:N %AR阶数由M变化到Nef(M,n)=ef(M-1,n)+Km*eb(M-1,n-1); %计算滤波器输出的前向预测误差eb(M,n)=eb(M-1,n-1)+Km*ef(M-1,n); %计算滤波器输出的后向预测误差endM=M+1; %阶数叠加，以便递推计算下一阶数据A=0; %反射系数Km的分子，初始值设为0D=0; %反射系数Km的分母，初始值设为0for n=M:N %同前，进行递推运算A=A+ef(M-1,n)*eb(M-1,n-1);D=D+(abs(ef(M-1,n)))^2+(abs(eb(M-1,n-1)))^2;endKm=-2*A/D;a(M-1,M-1)=-2*A/D;P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km))^2);FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M);for m=1:M-2 %AR阶数m由1变化到（M-2）a(M-1,m)=a(M-2,m)+Km*a(M-2,M-1-m); %递推计算各阶前向预测滤波器的系数endwhile FPE(M-1)<TH %比较此刻阶数的误差平均功率与之前设置的平均功率的大小TH=FPE(M-1); %小于之前数值时，覆盖得到新的最小平均功率，并进行递推运算for n=M:Nef(M,n)=ef(M-1,n)+Km*eb(M-1,n-1); %递推计算滤波器输出的各阶前向预测误差eb(M,n)=eb(M-1,n-1)+Km*ef(M-1,n); %递推计算滤波器输出的各阶后向预测误差endKm=-2*A/D; %反射系数a(M-1,M-1)=-2*A/D; %前向预测滤波器系数P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km))^2); %预测误差功率FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M);for m=1:M-2 %AR阶数m由1变化到（M-2）a(M-1,m)=a(M-2,m)+Km*a(M-2,M-1-m); %递推得到各阶前向预测滤波器的系数endendT=1/fs;sum1=0; %采样周期T赋值；功率谱初值设为0f=0.01:0.01:0.5; %选取数据采样点，归一化频率0.01～0.5，间隔为0.01 for m=1:M-1; %AR阶数为1～(M-1)sum1=sum1+a(M-1,m)*exp(-j*2*pi*m*f*T); %傅里叶变换，得到AR参数的估计ends1=(abs(1+sum1)).^2; %由Fejer-Riesz定理，得到最大熵谱估计，即ARMA功率谱s=P(M)*T./s1; %求得各阶功率谱的矩阵plot(f,10*log10(s),'k'); %画出功率谱随频率变化的曲线图xlabel('f/fs'); %X轴坐标名称ylabel('功率谱/dB'); %Y轴坐标名称五、仿真结果及分析结果分析：如上，是阶数分别为16和32时所得的功率谱曲线。

如图可知，Burg算法得到的谱线分辨率很高，曲线平滑而且干扰很少，可清晰分辨出功率谱的峰值及其对应的频率值（处于初始设定的频率值0.175～0.20之间）；并且随着阶数的增加，预测误差功率随之减小，但变化不大，对于频率分辨率影响也很小。

相较于Levinson算法，Burg算法的基本思想是使前、后向预测误差的平均功率最小，且没有使用自相关估计法，因而，结果与真实值更接近。