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运筹学论文

目录
一、问题的提出: 1
二、问题的分析: 1
三、数学模型的建立: 2
决策变量: 2
目标函数: 2
约束条件: 2
四、模型的求解及解的分析: 3
用lindo软件求解如下: 3
运行结果: 3
灵敏度分析: 4
解的分析: 5
五、结论: 6
最佳投资方案问题
一、问题的提出:
投资都经常会遇到投资项目的组合选择问题,要考虑的因素有收益率,风险,增长潜力等条件,并进行综合权衡,以求得一个最佳投资方案.
某地投资者有50万可用于长期投资,可供选择的投资项目包括购买国库券,购买公司债券,投资房地产商,购买股票,银行短期或长期储蓄。

各种投资方式的投资期限,年收益率,风险系数,增长潜力具体参见下表。

若投资者希望投资组合平均年限不超过5年,平均的期望收益率不低于13%,风险系数不超过4,收益的增长潜力不低于10%。

问在满足上述要求前提下,投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高?
表:各种投资项目的参数表
二、问题的分析:
这个投资方案问题的目标是使投资者平均年收益最高,要作的决策是投资的组合,即用多少钱投资于国库券,用多少钱投资于公司债券,用多少分别投资于房地产,股票,短期与长期储蓄。

决策受到4个条件的限制:投资期限,年收益率,风险系数,增长潜力。

按题目所给,将决策变量,目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来,就可以得到下面的模型。

模型的假设:
1)假定投资项目的参数是固定不变的,即年收益率,风险系数,增长
潜力并不因为时间的变化而变化。

2) 投资者的获利不因为各各投资项目之间的关系而变化,也就是说不管投资哪个项目,其它项目并不影响这个项目的利润。

三、数学模型的建立:
决策变量:
设投资者用x1表示投资者对国库券的投资金额,x2表示投资者对公司债券的投资额,x3表示投资者对房地产的投资额,x4表示投资者对股票的投资金额,x5表示投资者对短期储蓄的投资金额,x6表示投资者对长期储蓄的投资金额。

目标函数:
设投资者的年收益为z万元,x1可产生11 x1的收益,x2 产生15 x2的收益,x3 可产生25x3的收益,x4可产生20 x4的收益,x5可产生10 x5的收益,x6可产生12 x6的收益,故z=11x1+ 15x2+25x3+20x4+10 x5+12x6
约束条件:
投资期限 3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6≦250
年收益率 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6≧650
风险系数 1x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6≦200
增长潜力 0x1+15x2+30x3+20x4+5x5+10x6≧500
资金能力 x1+x2+x3+x4+x5+x6≦50
非负约束 所有的投资不能为负数
综上可得
Max z =11x1+ 15x2+25x3+20x4+10 x5+12x6 (1) s.t.
3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6≦250 (2)
11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6≧650 (3)
1x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x≦200 (4)
0x1+15x2+30x3+20x4+5x5+10x6≧500 (5)
x1+x2+x3+x4+x5+x6≦50 (6)四、模型的求解及解的分析:
用lindo软件求解如下:
Max
11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6
st
3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6<=250
11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6>=650
x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6<=200
15x2+30x3+20x4+5x5+10x6>=500
x1+x2+x3+x4+x5+x6<=50
end
运行结果:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 850.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 28.571428 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 21.428572 0.000000
X4 0.000000 1.000000
X5 0.000000 1.000000
X6 0.000000 1.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 35.714287 0.000000
3) 200.000000 0.000000
4) 0.000000 2.000000
5) 142.857147 0.000000
6) 0.000000 9.000000
NO. ITERATIONS= 3
灵敏度分析:
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 11.000000 13.999999 0.000000
X2 15.000000 0.000000 INFINITY
X3 25.000000 62.999996 0.000000
X4 20.000000 1.000000 INFINITY
X5 10.000000 1.000000 INFINITY
X6 12.000000 1.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 250.000000 INFINITY 35.714287
3 650.000000 200.000000 INFINITY
4 200.000000 83.333336 33.333336
5 500.000000 142.857147 INFINITY
6 50.000000 13.888889 22.222221
最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围:x1的系数为(11-0,11+13.999999);x3的系数为(25-0,25+62.999996);所以当国库券的年收益率向上波动,或向下波动时,我们的投资方案将不再一定是最优的,应该重新制订。

解的分析:
1)对解进行分析有,这个线性规划的最优解为
x1=28.571428,x2=0,x3= 21.428572,其它x均等于0,最优值为z=850.0000,即投资国库券28.571428万元,投资公司债券0万元,投资房地产21.428572万元,其它投资均为0万元可使得年收益最高。

且平均年
收益为17%满足题目要求。

2)上述结果给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围:x1的系数为(11-0,11+13.999999);x3的系数为(25-
0,25+62.999996);所以当国库券的年收益率向上波动,或向下波动时,我们的投资方案将不再一定是最优的,应该重新制订。

如若国库券的年收益率下调5%,应将原模型(1)式中x1的系数改为10.45,重新计算,得到的最优解为x1=24.418604,x2=5.813953,x3=19.767443,其它x均为0,最优值为836.5698,即投资国库券的金额减少为24.418604,增加对公司债券的投资为5.813953,减少房地产的投资为19.767443,年均收益也有变化,这就是说,最优投资方案对每个投资项目的年收益率的波动是很敏感的。

3)我们再对数据进行处理下,四舍五入取4位有效数字得到:
x1=28.57;x2=0;x3=21.43;x4=0;x5=0;x6=0。

再将结果代入方程不等式中,其结果满足方程,且平均年收益率为17%。

五、结论:
通过使用lindo软件对模型进行求解及灵敏度分析,总体看来,对该系统的研究基本上达到了预期的研究目的,提出的问题得到了较好的解决,模型具有较好的适应性这是一次运筹学的基本知识与lindo软件有机的结合,利用了lindo软件来解决了运筹学课程中遇到的问题,让我感觉到用软件解决问题的方便性与实用性。

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