P 2g
r aC

P g
2r aC

M
2Pr
;
aC

2(M 2P r) 5P r
g
当M >2Pr 时，aC 0 ，圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
代入（3）、（4）并结合（2）式得：

A

B

2g 5r
aC

4 5
g
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第八章 质点的运动微分方程
（2）选圆柱A为研究对象
1 2
P g
r 2
A

M
Tr
（1）
选圆柱B为研究对象
1 2
P g
r
2
B

T
'
r
（2）
P g
aC
T 'P
（3）
运动学关系： aC ae ar r A r B （4）
3 4
mR2 2
T 1 mv2 1 mR2 2
2
4
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A

O
第八章 质点的运动微分方程
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为 2r，质量为m，行星齿轮可视为均质轮 ，质量为m，半径为r，系杆绕轴O转动
的角速度为。则该系统动量主矢的大
小为（ 3mr ），对轴O的动量矩大小 为（13 mr2 ）， 系统动3能为（ 11 mr2 2 ）。
由（1）~（4）式得：
B

4gM 2g 5 Pr2
Pr

A

6gM 5
2g Pr2
Pr
aC

2gM 4g 5Pr
Pr

2g(M 2Pr) 5Pr
当M >2Pr 时，aC 0 ，圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
（2）也可以取整个系统为研究对象
LO

P 2g

0
xC1 xC 2
x
y
甲乙
m1g m2g
Mg
乙
首
x
甲
Mx m1(x 1.5) m2 (x 0.5) 0
x 0.5m2 1.5m1 30 75
m1 m2 M
260
x m2 g
Mg m1g
0.173m(实际应向左位移)
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第八章 质点的运动微分方程
点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地
开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置
时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。
y
【解】（1）用动能定理求角速度。
T1 0
T2

1 2
J 0 2

1 2
(1 2
mr 2

mr2 )2

3 4
mr 2 2
r C
W12 mgr
A、加速度大小不变、而方向在变化。 加速度始终为重 B、加速度大小在变化、而方向不变。 力加速度g。 C、加速度大小、方向都在变化。 D、加速度大小、方向都不变化。
2．判断题
（1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相同.（ × ）
运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。
条件下圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
解：（1）选圆柱A为研究对象
1 2
P g
r
2
A
Tr
（1）
选圆柱B为研究对象
1 2
P g
r
2
B

T
'
r
P g
aC

P
T
'
运动学关系：
（2） （3）
aC ae ar r A r B （4）
由（1）、（2）式得： A B
第八章 质点的运动微分方程
例11-3 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处
于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转
到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：研究OA杆
（1）OA杆所受外力的功：
W12

P 1.2

1k 2
(12
22)
309.81.2 1 3000[02 (2.4 1.2 2)2 ] 388.4(J)
【解】 细长杆作平面运动，欲求aB, 则必先求ac,
由基点法 aB aC aBC aC aBC aBnC ①
aBC

l
2
aBnC

l 2
2

0
应用平面运动微分方程 Mac

F,

aC

F M
②
JC

F

l 2
Fl 6F ③
2JC Ml
将②、③代入①中，得

J O
[ 1 12
mL2

m( L )2 ]
6
p mR
LO

J O

3 2
mR2
p mv
LC

JC

1 2
mR2
1 mL2
9
LO rC mvC LCr

LO

mv
R

JC

3 2
mR2
T

1 2
JO 2

1 mL2 2
18
T

1 2
JO 2

A
A
C• • C
B
B
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第八章 质点的运动微分方程
例10－4
已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住绳子由静止开始相 对绳以速度v上爬，猴A抓住绳子不动，问当猴B向上爬 时，猴A将如何运动？运动的速度多大？（轮重不计）
【解】
(e)
mO (F ) PA r PB r 0 ,

1 2
(1 2
mr 2

mr2 )2

3 4
mr 2 2
W12 mgr(1 cos )
由T2－T1＝W12，得 3 mr22－0＝mgr(1 cos )
4
(*) 4 g (1 cos ) 3r
两边对（*）式求导 （3）求O处约束反力
3 mr2 ＝mgr sin
2
（2）
OA杆的动能：T1

1 2

1 3
30 2.4202

28.802
T2 0
（3）对OA杆应用动能定理：
T2 T1 W12 0 28.802 388.4
0 3.67rad/s
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第八章 质点的运动微分方程
如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ 450）无
【解】 Fx 0 且有AB杆初始静止，
因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点 的坐标可表示为：
建立oxy：并令y轴通过质心，则
xA

CA cos

l 2
cos
yA BAsin l sin
消去 ，得：
4 x A2

y
2 A

l2
即A点的轨迹为椭圆。
由T2－T1＝W12，得
3 mr22－0＝mgr
4 g
C
O
x
4
3r
(a)
（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：
JO
代入JO，有
d
dt
mgr
2g 3r
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第八章 质点的运动微分方程
法二：用动能定理求角速度及角加速度。
T1 0
T2

1 2
J 0 2
x 0.5m2 1.5m1 30 75
m1 m2 M
260
x
m1g m2g
Mg
乙
首
x
甲
0.173m(实际应向左位移)
x m2 g
Mg m1g
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第八章 质点的运动微分方程
例9-9 如图所示，均质杆AB长为l，铅垂地立在光滑水平面 上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A的轨迹。
2
＝2g sin
3r
作圆盘的受力分析和运动分析，有
aCn aC

r2 r r 2 g
3
4g 3r

4g 3
由质心运动定理，得
maCn

FOx

FOx

4 3
mg
maC

mg
FOy

FOy

1 mg 3
mg

C
aCn
aC
(b)
FOx FOy
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第八章 质点的运动微分方程
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？

dv
dv
a.m dt F ,b.m dt F
( A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。