2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-；21232,2,(2)x x βββ==-=-。
（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。
二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,,,)T n n x x x x R=∈满足11(0,,,)n Tx x x -=。
（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设1023510224i A i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，120x i -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，i = 。
计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。
四．（10分）求矩阵1123101032160113A -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵011110101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。
证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。
3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。
七． （24分） 设100011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设3R 两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)T T T ααα==-=；123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)T T T βββ=-=-=。
（1）求123,,ααα到123,,βββ的过度矩阵，（2） 求子空间V ，其中V 中的向量在两个基下的坐标相同。
二． （14分）设线性映射43:T R R →满足：对任意41234(,,,)T x x x x R ∈，求的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设210023120A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 。
计算12, , A A A ∞。
四．（10分）求矩阵1321426107393111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵102110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足220A E +=。
证明A 是反Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．证明正定与半正定矩阵之和是正定矩阵。
3．证明：若A 是反对称矩阵，则A e 是正交矩阵。
七． （24分） 设110010221A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2005-2006学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A)一．（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα，（1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基; （3）求21V V 的维数及基.二.（14分）求矩阵200002244002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的正交三角分解. 三.（14分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.四．证明题（共24分，每小题各8分）：1．证明：两矩阵22222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和23232⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 2．设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明A B +是可逆矩阵. 3. 设n x C ∈，证明向量的无穷范数公式为： 1max j j nxx ∞≤≤=.五．（24分） 设200101512A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（1）求E A λ-的Smith 标准形（写出主要步骤）；（2）写出A 的最小多项式，A 的初等因子和Jordan 标准J ；（3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=； （4）求1P -及函数()f A ，并计算tA e .2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设三维线性空间V 的两个基为123: ,,I ααα和12: ,,II βββ， 已知由I 到II 的过度矩阵为101010101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，V 中的线性映射T 满足123121232312313(23)(22)(34)T T T αααββαααββαααββ++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩，（1） 求T 在基II 下的矩阵表示；（2） 求1T β在基I 下的坐标。
二． （14分）设4[]R x 是由次数小于等于3的所有实系数多项式组成的线性空间，4[]R x 中的线性映射T 满足：对任意2301234()[]f x a a x a x a x R x =+++∈，3032322110)()()()()(x a a x a a x a a a a x Tf -+-+-+-=，求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设2310i A i -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
计算12, , , F A A A A ∞。
四．（10分）求矩阵011110222601123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵002341122A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的三角正交分解A RU =，其中U 是酉矩阵，R 是正线下三角矩阵。
六． （20分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是反Hermite 矩阵的充要条件是A 的特征值为纯虚数。
2．设A 是Hermite 矩阵，证明：（1）iA e 是酉矩阵；（2）tr ||A A e e =。
3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是反对称变换，即对任何,x y V ∈，的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。
七． （20分） 设126103114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设3R 的两个基为T T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ，（2） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐标。
二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=，求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120520i i i A ， （1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=，计算1Ax 和∞Ax 。
四．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131321*********A 的满秩分解。
五． （12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （20分）证明题：1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。
2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。
3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈，的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。
七． （20分） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100100011A 。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）3][x R 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3][x R 中取两个基：2123: 1,1,1I x x x ααα==+=++；222123: 1,,1II x x x x x βββ=+=+=++。
（1）求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求2123x x α=++在基I 下的坐标。
二． （16分）设3[]R x 是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，3[]R x 中的线性映射T 满足：对任意20123()[]f x a a x a x R x =++∈，21202012()()()(2)Tf x a a a a x a a a x =++++++，（1）求T 的核()N T 基和维数；（2）求值域()R T 的基和维数；（3）求3[]R x 的一个基使得T 在该基下的矩阵表示为对角矩阵。
三． （12分）设11121121A i i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，111x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，i = 。