第四篇 振动与波动第十二章机械振动§ 12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。

现将 m 略向右移到 A ，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。

在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用 在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用， m 将继续向 O 左边运动，使弹簧压缩。

此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B （瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。

这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。

图 12-12、简谐振动运动方程由上分析知， m 位移为 x （相对平衡点 O ）时，它受到弹性力为（胡克定律） ：F kx (12-1)式中： 当x 0即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即F 0 当 x即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即F 0k为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。

定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。

由定义知，弹簧振子做谐振动。

由牛顿第二定律知，m加速度为aF kxmm（ m为物体质量）a d 2 xd 2 x k x∵dt 2 ∴ dt 2mk2∵ k、 m均大于 0，∴可令m可有：d 2 x 2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。

它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为x Asin t ' (12-3)或x Acos t (12-4)'2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。

因此，我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。

本书中用余弦形式表示谐振动方程。

3、谐振动的速度和加速度物体位移：xAcos tdxAsin tV(12-5)速度：dtd 2 xa 2 Acos t 2 x加速度：dt 2 (12-6)可知：Vmax A amax 2 Ax t、V t 、 at 曲线如下图12-2图12-3说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特征；（2） a2 x是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。

§ 12-2 谐振动的振幅角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程x Acost，现在来说明式中各量意义。

1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A 。

A 反映了振动的强弱。

2、角频率（圆频率）为了定义角频率。

首先定义周期和频率。

物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T 表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v表示。

11vT由上可知：T或v∵ T 为周期，∴xAcos tAcos t T∵从 t时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来 t时刻状态，∴ T 2（余弦函数周期为 2）22 vT 可见： 表示在 2秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）k∵m22mTk ∴v1 k2 m2对于给定的弹簧振子，m、 k都是一定的，所以 T 、 v完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。

因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。

3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A 、给定后，物体的位置和速度取决于t， t称为位相（或周相、相位） 。

由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。

是t时的位相，称为初相。

4、 A 、 的确定对于给定的系统， 已知，初始条件给定后可求出 A 、 。

初始条件：t 0时x x由 x 、 v 表达式有v v 0x 0 Acosv 0Asin 即x 0Acosv 0Asintg即x 0arctgv 0x 0A 2v 02x 02值所在象限：1） x 0 0， v0 0 ： 在第Ⅰ象限2） x 0 0 ， v 00 ： 在第Ⅱ象限 3） x 0 0 ， v 0 0 ： 在第Ⅲ象限4）x0，v0 ： 在第Ⅳ象限（ 12-6 ）（ 12-7 ）5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为图 12-4x 1 A 1 cos 1t1x 2A 2 cos2t2任意 t时刻二者位相差为2t21t 121t21：2 的位相比 1 超前：2、1 同位相：2 的位相比 1 落后例 12-1 ：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知k1.60N / m ，m 0.40kg，试求下列情况下 m的振动方程。

（1）将 m从平衡位置向右移到 x 0.10m 处由静止释放；（2）将 m从平衡位置向右移到 x 0.10m 处并给以 m 向左的速率为 0.20m/ s 。

解：（1）m的运动方程为x Acostk1.602 / s由题意知： m 0.40初始条件：t0 时，x0.10m ， v 0 0A 2v 02 20.10m可得：x 0 20.10 0图 12-5arctgv 0 arctg 0x 0∵ x 0 0 ，v 0 0 ，∴x 0.10 cos 2t m2） 初始条件： t0 时， x0 0.10m ， v 00.20m / sA 2 v 02 20.20 2 0.1 2mx 0 20.1022arctg v 0arctg0.20arctg 1x 00.102∵ x 00 ， v 0，∴4x0.1 2 cos 2tm4可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。

例 12-2 ：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。

(1) 证明：当摆角 很小时小球做谐振动；(2) 求小球振动周期。

证：（1）设摆长为 l，小球质量为 m，某时刻小球悬线与铅直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由 转动定律：M J有mg sin lml 2d2图 12-6dt 2d 2gsin0 即dt 2 l∵ 很小。

∴sind 2 g 0dt2l∵这是谐振动的微分方程（或与 正比反向）∴小球在做谐振动。

（2）2 2 l T2g gl（注意做谐振动时条件，即 很小）§ 12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。

一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A ，其模为简谐振动的振幅 A ，并使 A 在图面内绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 A 称为旋转矢量。

二、简谐振动的旋转矢量表示法图 12-7A（1）旋转矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量 A 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。

（3）t0 时刻，旋转矢量与x 轴夹角为谐振动的初相，t 时刻旋转矢量与x 轴夹角t为 t 时刻谐振动的位相。

说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。

（ 2）必须注意， 旋转矢量本身并不在作谐振动， 而是它矢端在 x 轴上的投影点在 x 轴上做谐振动。

旋转矢量与谐振动 x t 曲线的对应关系（设）图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3 ：一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s 。

t 0时，位移为 0.06m ，且向 x 轴正向运动。

（1）求物体振动方程；（2）设 t1 时刻为物体第一次运动到x0.06m处，试求物体从 t 1时刻运动到平衡位置所用最短时间。

解：（1）设物体谐振动方程为xAcos t由题意知A0.12m2 2 S 1T2?〈方法一〉用数学公式求x 0Acos∵A0.12m , x0.06mcos 123∴ ∵vAsin∴3x 0.12 cos tm3〈方法二〉用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果∴3图 12-9x 0.12 cos tm3由上可见，〈方法二〉简单（2）〈方法一〉用数学式子求t0.06 0.12 cos t1t1 由题意有： 3 （∵t12 43 3 或 3v1 A sin t1 0∵此时 3 t1 23 3∴t1 1s设t2 时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置，0 0.12cos t23有：t2 3（∵t22t23 2 或 2 ∴3v2 A sin t 2 0∵33t2∴3 211t2s11 5t t2t11s6 6〈方法二〉用旋转矢量法求t由题意知，有左图所示结果，M1为t1时刻 A末端位置， M2为t2时刻 A 末端位置。

从t1t2内A转角为t2 t1 M 1OM 2 52 6535 5t t26t16s6显然〈方法二〉简单。

例 12-4 ：图为某质点做谐振动的xt 曲线。

求振动方程。

解：设质点的振动方程为xA cos t由图知： A 10cm2 2 s 1T 2T 2t132∴）2）图12-10图 12-113用旋转矢量法（见上页图）可知，2（或2 ）x 10 cos tcm2例 12-5 ：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A 为振幅，t 0时刻情况如图所示。

O 为原点。

试求各种情况下初相。

图 12-12§ 12-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量 E =E k（物体动能） +E p（弹簧势能）已知： 物体位移 xAcos t物体速度vAsin t E E k E p1 mv2 1 kx 2221Asin t2 1t2mk Acos22122 21221 2 mA sint2 kA cost(m2k)kA 2 sin 2 t cos 2t21 kA 2211EkA 2 m 2 A 2 （11-8 ）2 2说明：（ 1）虽然 E k 、E p 均随时间变化，但总能量 E E k E p 且为常数。

原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。

（2）Ek与E p互相转化。

当x0 时， E p，EkEk maxE 。

在 xA处，E k 0 ， E pEp maxE 。

例 12-6 ：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A 。

试求 E k 1E p的位置。

2解：设弹簧的倔强系数为 k，系统总能量为E E kE p1kA 221kEp在2 时，有EE k E p3E p 3 1 kx 22 2 23 kx 2 1 kA 2 422xA∴3例 12-7 ：如图所示系统，弹簧的倔强系数k25N / m ，物块m 10.6kg，物块m20.4kg，m1与m2间最大静摩擦系数为0.5，m1与地面间是光滑的。

现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使 m2在振动中不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。