规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关

B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关


穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1

r

R2 ,
B

0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零

dl


0I
2π
2π
0
d

0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd

0I
d
2π r
2π

B dl
l
0I
电流在回路之外
B1
B2
d
I
r1
dl1
dl2
r2
l
B1

0I
2π r1
，
B2

0I
2π r2
B1
dl1

B2
dl2
B dl 0 Ii
i 1
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1

一闭合即路在径真的空积的分稳的恒值磁，场等中于，磁0感乘应以强该度闭合B 路沿径任
所包围的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.

Bdl
2R
B


0 I
2 r
rR
O
R
r
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布
电流均匀分布
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外

E
2 0r
E0

E
2 0r r
E 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B

0 Ir 2R 2
B dl
0 I dl cos0
L
L 2 r
0I
2 r
2 r
0 dl 0 I
I
L
o
r B
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述
恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的
积分等于此环路所包围的电流代数和的
例4 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r

解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
三、安培环路定理的应用
B dl 0 Ii
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
2 ) 选回路 L .
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋.

M
NB
++++++++++++ B dl B dl B dl B dl B dl
l
MN
NO
OP
PM
B MN 0nMNI B 0nI

不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对 L B dl 无贡献。
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
I
L
dl
dl
o
dl //
o L
dl //

B dl B (dl// dl )
L
L

B dl// B dl
L

0 (I1

I1
I1
I2)

（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1

问 1）B 是否与回路 L 外电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
若电流反向：
B dl
2 r 0 I dlcos
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
I
已知：I、R
R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
分析对称性
电流分布——轴对称
磁场分布——轴对称
B 的方向判断如下：
r
dS1
O
l
dS2
dB dB2 dB1
P
作积分环路并计算环流
如图 r R


B dl


Bdl

2rB
利用安培环路定理求
I
B
dl
l
B

dl


0
2π
I dl R
oR
l
B dl
0I
dl
l
2π R l

B dl
l
0I
设闭合回路 l 为圆形 回路（l 与 I成右螺旋）
I
B
dl
oR
l
d
dl
B
Ir
l
l 与 I 成右螺旋
若回路绕向化为逆时针时，则
l
B
L
0 2 r
0I
2 r
2 r
0 dl 0 I
I
L
o
r B
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为 正，反之为负。
如果规定 统一为：
与L 绕向成右旋关系 I 0 与L 绕向成左旋关系 I 0

B dl 0I L
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
I1 I2 20A
如图取微元
dm B dS Bldr
B 0I1 0I2 2r 2 (d r )

B
I1

r dr
I2
l
方向
r1
r2 d r3
m

dm

r1 r1

r2
[
0 I1 2r

0 I2 ]ldr 2 (d r)
0 I1l ln r1 r2 0 I2l ln d r1

L L L B dl// 0
cos 0
0 I (I穿过L)
0 (I不穿过L)
5）空间存在多个长直电流时
I1
I4
I2
I3
L
由磁场叠加原理


B B1 B2 Bn



B dl L
L
( B1
B2


Bn
)
dl

L B1 dl L B2 dl L Bn dl
0 Ii ( 穿 过L )
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理

L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径 L
的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代
倍。
0

表达式
B dl
L
0
Ii
i
I n1
I2
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右
Ink
手关系的，I 为正，否则为负。 I1
Ii
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场
载流长直导线的磁感强
度为 B 0I
2π R
求:两线中点 BA
过图中矩形的磁通量
I1
A BA
I2
l
解：I1、I2在A点的磁场
B1

B2

0 I1 2 d 2
2.0 105T
r1
r2 d r3
d 40cm
BA B1 B2 4.0 105T
r2 20cm
l 25cm
方向
r1 r3 10cm

不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对 B dl 无贡献 L
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）