课外作业3 课外作业3
二、用图解法求解下列线性规划：
min Z = 3 x1 − 2 x x1 + x 2 ≤ 1 2 x1 + 3 x 2 ≥ 6 x ,x ≥0 1 2
问题： 怎样将一个线性规划转化为标准型？
线性规划标准形式
目标函数 (Objective)： (Objective)：
转变成标准型的步骤
①
②
③
④ ⑤ ⑥ ⑦
在目标函数前加负号，将极小值问题变成极大 值问题； 将右边常数项为负的约束两边乘以（将右边常数项为负的约束两边乘以（-1），将 右边常数项变成非负； 引入人工变量，用非负的人工变量取代无约束 的自由变量； 加上松弛变量，将小于号变成等号； 减去剩余变量，将大于号变成等号； 所有辅助变量满足非负条件； 目标函数中加上引入的变量，系数取为0. 目标函数中加上引入的变量，系数取为0.
6 5
x2
⑶
4
3
⑷
(4 2)
1 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵ ⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 x2 = 2
线性规划有唯一最优解， 线性规划有唯一最优解，Z = 14 有唯一最优解
并不是所有线性规划都有唯一最优解！
线性规划的图解法的几种情况
线性规划的可行域和最优解的情况
I. 可行域为封闭的有界区域
① ②
在发给我的附件文档中写上姓名和学号！
线性规划模型及其求解
问题： 什么叫可行点( 和可行域? 什么叫可行点(解)和可行域? 线性规划问题的可行域和最优解有什么特 点？ 怎样用图解法求解线性规划问题？ 线性规划问题的标准型是怎样的？怎样求 线性规划问题的标准型？ 单纯形法求解线性规划问题的原理思想是 什么？
模型转换(Transformation) 模型转换(Transformation)
人工变量(artificial 人工变量(artificial variables): x 4 , x 5 松弛变量(slack 松弛变量(slack variables): x 6 剩余变量(surplus variables): x 7 剩余变量(surplus 人工变量、松弛变量、 人工变量、松弛变量、剩余变量为引入的辅助变量
线性规划问题的求解方法
图解法：用于求解低维的简单线性规划问题，特 图解法：用于求解低维的简单线性规划问题，特 点是直观，便于理解线性规划问题的优化本质。 要求会用图解法求解二维线性规划问题。 单纯形法：目前应用最广泛，多数软件使用的算 单纯形法：目前应用最广泛，多数软件使用的算 法。但理论上不是多项式算法。只介绍原理思想。 椭球法：求解线性规划问题的多项式算法，理论 椭球法：求解线性规划问题的多项式算法，理论 意义大于实际应用意义。不介绍。
线性规划模型
分量形式
max ∑ c j x j
j =1 n
n ∑ ai j x j ≤ bi ; i = 1, 2,K , m s.t. j =1 x ≥ 0; j = 1, 2..., n j
线性规划标准形式
目标函数 (Objective)： (Objective)：
max f ( x) = c1x1 + c2 x2 + L+ cn xn
线性规划问题的可行域
线性规域的性质
● ●
线性规划的可行域是凸集 线性规划的最优解在极点上
凸集
极点
凸集
不是凸集
关于线性规划
线性规划是最简单的数学规划，在数学规划中具 有基础地位。 线性规划问题的目标函数和可行域都是连续的， 线性规划本身是有约束的连续型优化问题，但其 求解却是在离散点上搜索，因而，线性规划是联 系连续型优化和离散型优化的桥梁。 线性规划问题的求解已经比较成熟，有大量现成 的实用软件可以求解线性规划问题 (LINGO,LINDO,MATLAB,EXCEL,WinQSB)。 (LINGO,LINDO,MATLAB,EXCEL,WinQSB)。
x + , x − 为人工变量 j j
约束转换
ai1x1 + ai 2 x2 + Lain xn ≤ bi ai1x1 + ai 2 x2 + Lain xn ≥ bi
ai1x1 + ai 2 x2 + Lain xn + si = bi , si ≥ 0 ai1x1 + ai 2 x2 + Lain xn − si = bi , si ≥ 0
征集软件
所搜集到的课上提到范围之外的软件可以 作为征集软件发送给我。 要求同上次征集案例：
x2
⑵ ⑶
⑴
x1
∴ 线性规划有无穷多最优解
线性规划的图解法—无界解
例 3
x2
⑵
min Z = x 1 + x 2 x1 + 2 x 2 ≥ 2 x1 − x 2 ≥ −1 x ,x ≥ 0 1 2
⑴
x1
∴ 线性规划有无界解
课外作业3 课外作业3
一、用图解法求解下列线性规划：
max Z = x1 + 3 x2 x1 + x2 ≤ 6 s.t. − x1 + 2 x2 ≤ 8 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1
LINDO求解线性规划的求解结果界面 LINDO求解线性规划的求解结果界面
课外作业5 课外作业5
课外搜索、查阅有关文献和资料，寻找求解线性规划的 实用软件，选择其中一种（可以是课上提到的软件其中 之一），写一篇短文，归纳该软件的特点、适用范围、 后台算法和编码所用程序语言。 短文要求（本要求适用于所布置所有短文作业）： A. 语言流畅条理，结构层次清晰，有大小标题； B. 打印手写皆可，五号至四号字体，A4或16开纸面1 打印手写皆可，五号至四号字体，A4或16开纸面1-5页； C. 包含图片，可以扩展到10页内； 包含图片，可以扩展到10页内；
max f ( x) = c1x1 + c2 x2 + L+ cn xn
a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LL am1x1 + am2 x2 + L+ amn xn = bm
②
非负条件 (Nonnegativity ):
xj ≥ 0
( j = 1,2L, n)
③
线性规划模型的特点
目标函数是线性的 约束函数是线性的 决策变量非负
优化的概念及原理
可行点（解）：满足约束条件的决策点（解） 可行域：所有可行点的集合 所谓优化，就是在可行域中找目标函数最好 的点，因此，最优点首先必须是可行点，最 优解只能在可行域中找到。
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•
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课外作业4 课外作业4
一、将下列线性规划转化成标准型
min Z = − x1 − 3 x2 x1 + x2 ≤ 6 s.t. − x1 + 2 x2 ≤ 8 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1
课外作业4 课外作业4
二、将下列线性规划转化成标准型
max Z = x1 − 2 x2 + x3 x1 + x2 + x3 ≤ 7 − x + x − x ≤ −2 1 2 3 s.t. 2 x1 + x2 + 2 x3 = 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
有唯一的最优解 有无穷多个最优解
II.
可行域为封闭的无界区域
③ ④ ⑤
有唯一的最优解 有无穷多个最优解 目标函数无界
III. 可行域为空集
⑥
没有可行解， 没有可行解，原问题无最优解
线性规划的图解法—无穷多最优解
例 2
m in Z = − x1 − 2 x 2 x1 + 2 x 2 ≤ 6 3 x + 2 x ≤ 12 1 2 x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
线性规划模型
线性规划模型的结构（矩阵形式) m ax(m in) 目标函数 ：max，min s.t. 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, ≤0 线性规划的标准形式 目标函数：min 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
z =C X AX ≥ (=, ≤)b X ≥ (≤)0, unr
T
T
m in z = C X s.t. A = b X X≥ 0
图解法的步骤
可行域的画法： 可行域的画法： 将约束中的不等号先变成等号，画出直线； 再根据不等号找出可行域。 目标函数等值线的画法： 目标函数等值线的画法： 任给目标函数一个值（最简单的，例如让 决策变量都为0 决策变量都为0，得到一个目标函数值）， 画出一条目标函数等值线，然后找出与这 条等值线平行又穿过可行域极点的等值线。
求解线性规划的实用软件
EXCEL LINDO/LINGO MATLAB WinQSB 这些实用软件求解线性规划采用的算法多是 单纯形法。
LINDO软件界面 LINDO软件界面
LINDO求解线性规划的模型输入界面 LINDO求解线性规划的模型输入界面
LINDO求解线性规划的状态界面 LINDO求解线性规划的状态界面
标准型与原线性规划的关系
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变成标准型是用单纯形法求解线性规划的一个必 要步骤. 要步骤. 标准型也可以是极小值问题，会导致所用的单纯 标准型也可以是极小值问题， 形法有一点区别。 形法有一点区别。 在线性规划标准型中的决策变量包含了引入的辅 助变量，其存在只为线性规划的求解。 助变量，其存在只为线性规划的求解。 由线性规划标准型的解可以得到原线性规划的解， 由线性规划标准型的解可以得到原线性规划的解， 其相同的决策变量同解. 其相同的决策变量同解.