幂函数、指数函数和对数函数【知识结构】指数方程和对数方程的解法（一）【教学目标】1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学知识解决简单的实际问题。

2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.【教学重点】指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法.【教学难点】感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法. 【知识整理】1．简单的指对数方程指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。

2．常见的四种指数方程的一般解法（1） 方程()(0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （2） 方程()()(0,1,)f x g x a a a a =>≠的解法： )x (g )x (f =（3） 方程()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ⋅=⋅（4）方程20(0,1)xx aba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围，将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法（1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式ba )x (f =再求解，注意需验根．（2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得()()f x g x =，解出x 后，要满足()0()0f xg x >⎧⎨>⎩. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =，将原方程化简为Ay 2+By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。

【例题解析】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】解方程：9x -4·3x +3=0.【解答】解：由(3x )2-4(3x )+3=0⇒ (3x -1)(3x -3)=0⇒3x =1或3⇒x =0或1.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算【题目】方程log 2［log 3(log 5x )］=0的根是 ( ) A.1 B.9 C.25 D.125【解答】答案：D ．解： log 3(log 5x )=1⇒log 5x =3.故选D ．【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】已知关于x 的方程：2log 2a x -7·log a x +3=0有一个根是2，求a 值及另一个根【解答】解：设另一根为m ，∵Δ>0，故由根与系数关系得：⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+23log 2log 27log 2log m m a a a a log a 2 (27-log a 2)= 23⇒a =4或32.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】解关于x 的方程：lg(ax -1)-lg(x -1)=1.【解答】解：由⎩⎨⎧-=->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-101011)1(1010101x ax x x ax ax x ⇒⎩⎨⎧=->9)10(1x a x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=>a x x 1091⇒ax -=109(1<a <10).【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】若239)(log log y x =，（1）如果y x 3=，求y x 、的值；（2）当y x 、为何值时，yx有最小值。

【解答】解：（1）39,333x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩=⎪⎩（2）当11843,3x y ==时，y x有最小值为183-【课堂反馈】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，易，运算【题目】方程log 3(1－2·3x )＝2x ＋1的解x ＝__________________【解答】 答案：1-【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，中，综合运算【题目】不等式2cos (lg 20)1((0,))xx π>∈的解为【解答】答案：(0,)2π【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________【解答】答案：2【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，易，运算【题目】方程4220xx+-=的解是_______________【解答】 答案：0x =【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是【解答】答案：}2,1{-【课堂小结】1．简单的指对数方程指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。

2．常见的四种指数方程的一般解法 （4） 方程()(0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （5） 方程()()(0,1,)f x g x a a a a =>≠的解法： )x (g )x (f =（6） 方程()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ⋅=⋅（4）方程20(0,1)xx aba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围，将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法（1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式ba )x (f =再求解，注意需验根．（2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得()()f x g x =，解出x 后，要满足()0()0f x g x >⎧⎨>⎩. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =，将原方程化简为Ay 2+By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。

5.数形结合、分类讨论的数学思想方法【课后作业】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程1)12(log 3=-x 的解=x【解答】答案：2【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，易，运算【题目】方程 96370x x -•-=的解是 ．【解答】答案： x=7log 3【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，中，运算【题目】若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫⎝⎛=xx 的两个实数解，则=+21x x【解答】 答案：11-【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，中，运算【题目】解下列指数方程（1）223380x x +--=； （2）31636281x x x ⋅+=⋅；（3）21153x x+-=【解答】答案：（1）设3xy =，原方程可化为298090y y --=，解得9y =或19y =-（舍），即2x =，所以原方程的解为2x =． （2）原方程可化为22344929xx x x ⋅+⋅=⋅，可化为24432099xx ⎛⎫⎛⎫⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4293x⎛⎫= ⎪⎝⎭或419x⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍），即12x =，所以原方程的解为12x =． （3）两边取对数得()()21lg51lg3x x +=-，即()()1lg51lg30x x +--=⎡⎤⎣⎦，解得1x =-或3log 15，所以原方程的解为1x =-或3log 15x =．【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算 【题目】若x 0是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则x 0属于区间（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解答】C【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，难，运算【题目】已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】答案：解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=g解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t ttt tm -+-≥ 即24(21)(21)ttm -≥--，2210t->∵，2(21)tm ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】解方程log 4(3-x )+log 41(3+x )=log 4(1-x )+log 41(2x +1)【解答】解：由原方程得：log 4(3-x )-log 4(3+x )=log 4(1-x )-log 4(2x +1)⇒(3-x )·(2x +1)=(1-x )·(3+x )解之:x =0或7，经检验知：x =0为原方程解.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，易，运算【题目】解方程9x +6x =22x +1【解答】解：由原方程得：32x +3x ·2x =2·22x ，两边同除以22x 得：(23)2x +（23）x -2=0. 因式分解得：[（23）x -1]·[(23)x +2]=0. ∵(23)x +2>0，∴ (23)x -1=0，x =0.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，难，探究【题目】解关于x 的方程：lg(x 2-2ax )-lg(6a -3)=0.【解答】化原方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-+=->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-36)(21362036022222a a a x a a ax x a ax x ∵a >21，∴a 2+6a -3>41+6×21-3>0，故由(x -a 2)=a 2+6a -3得：x -a =±362-+a a 即x =a ±362-+a a (a >21).。