第五讲 锐角三角函数【问题探索】一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？（2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。

C C 1 C 2【精选例题】（一）锐角三角函数的概念例1、（1）在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 （2）Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5（3）菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BC=6cm ，那么tan2A为（ ） A ．35 B ．45C解析：（1）角A 的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。

故选A ； （2）画直角三角形草图，根据cosA=AC AB 可知，635AB =，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。

故选A ；（3）画菱形ABCD ，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan 2A =35。

故选A 。

前思后想：解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。

牛刀小试：1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A ．都缩小13B ．都不变C ．都扩大3倍D ．无法确定2．如图，在正方形网格中,直线AB ．CD 相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A.34B.43 C. 35 D. 453．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247BC ．724 D ．13A BCD4. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=27则cosB= .5．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，则tanB= ． 答案：1．B ； 2. C ； 3. C ；4. 5. 34（二）特殊角的三角函数值例2 计算下面各式：①23tan303cos 302sin30︒︒-︒②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒ 解析：①23tan303cos 302sin30︒︒-︒3②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒2121⨯++=34 前思后想：关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。

记住三角函数值最关键。

例3. 已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°A=60°，故选C 。

前思后想：对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。

牛刀小试：1．计算：（1）104sin 60(2)2008)-︒+-- （2）2tan 604sin30cos45+⋅ 2.已知α为锐角，当21tan α-无意义时，求tan(α+15°)—tan(α-15°)的值。

68CEABD3.21θ=，则θ= ,4．在△ABC 中，若2|tan 1|cos )0A B -+=，则∠C 的度数为 ．5. 在△ABC 中，若│sinA—12│+cosB ）2=0，则∠C=_______度． 答案：1．（1）104sin 60(2)2008)-︒+--=412—1=12；（2）2tan 604sin30cos45+⋅=2+412⨯2．21tan α-无意义，∴tan α=1，=45α∴︒∴ tan(α+15°)—tan(α-15°)=tan60°—tan30°。

3．21θ=，∴tan2θ230θ∴=︒，15θ∴=︒。

4．2|tan 1|cos )0A B -+=，∴tan 1A =，cos B =，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=105°。

5．│sinA—12│+—cosB ）2=0，∴sinA=12，。

∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C=120°。

（三）锐角三角函数的大小比较1、当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2、当角度在0°<α<90°间变化时，0<sinα<1， 1>cosα>0.当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0.例4.（1 ）。

A ．1 1 1- D.1 （2）当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）A ．大于12B ．小于12C D 解析：（1）tan 301︒-∴就要讨论tan30°—1的正负性tan30°<1，∴ tan30°—1<0，∴1)1 故选A（2）因为cos30°，且当0°<α<90°时，cos α随着α的增大而减小，所以锐角α>30°时，cos α。

故选D 前思后想：可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。

牛刀小试：1.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。

2.已知30°<α<β<90°cos 1cos βα-＝ 。

3.若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=）A 、3＜h ＜5B 、5＜h ＜10C 、10＜h ＜15D 、h ＞15 4.若0°<α<45°，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α>cos αB.cos α>sin αC.tan α>1D.tan α>tan -1α 答案：1．因为sin45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号； 2．因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<α<β<90°， 所以cos β—cos α<0，cos β—cos30°<0，1—cos α>0，∴)c 1c o sβα-+-＝cos α—cos β——cos β）+1—cos α＝13．h=10tan α，且30°＜α＜45°，∴10h <<，故选B 。

4．因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<α<45°”，故选B 。

（四）互余的两个角的三角函数sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα， 例5. 若sin28°=cosα，则α=________． 解析：因为“cos(90°-α)=sinα”，所以α=90°—28°=62°. 前思后想：sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。

牛刀小试：1．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________． 2.已知tan α＝1（0°≤α≤90°）则0cos(90)α-＝ 。

3.若001sin(90),cos(90)2αα-=-则=_____.4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2，根据三角函数的概念有sinA=a c ，cosA=b c，sin 2A+cos 2A=2222222a b a b c c c ++==1，sin cos A A =a c ÷b c =ab=tanA ，•其中sin 2A+cos 2A=1，sin cos A A =tanA 可作为公式来用．例如，△ABC 中，∠C=90°，sinA=45，求cosA ，tanA 的值．解法一：∵sin 2A+cos 2A=1； ∴cos 2A=1－sin 2A=1－（45）2=925． ∴cosA=35，tanA=sin cos A A =45÷35=43． 解法二：∵∠C=90°，sinA=45． ∴可设BC=4k ，AB=5k ． 由勾股定理，得AC=3k ．根据三角函数概念，得cosA=35，tanA=43．运用上述方法解答下列问题：（1）Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，求cosA ，tanA 的值；（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，，求sinA ，tanA 的值； （3）Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=12，求sinA ，cosA 的值； （4）∠A 是锐角，已知cosA=1517，求sin （90°－A ）的值． 答案：1．cos30°；sin30°，12；2．tan α＝1（0°≤α≤90°），45α∴=︒，∴0cos(90)α-。