s
δ(t )
d [
ε(t )]

S
1
1
dt
S
df (t) dt

sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]

dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)

sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：

df ( t dt
例13-8
求：F(s)

s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s

K21 s2

K13 (s 1)

K12 (s 1)2

K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)

1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12

d ds
1 s2
s1

注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )

0
f (t t0 )estdt

f (t t )e e dt
s( t t0 ) st0
t0
0
e 令t t0 st0 f (τ )esτdτ est0 F (s) 0

0
A1 f1( t ) A2 f2( t ) estdt

0
A1
f1(
t
)e st dt

0
A2
f2
(
t
)e
st dt
A1F1( S ) A2F2( S )
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
dt 0
f (t)dt
应用微分性质
t
F (s) sφ(s) 0 f (t)dt t0
φ(s) F (s) s
例13-4 求: f (t) t的象函数
解
L f
(t)
1 s

1 s

1 s2
熟记！
4.延迟性质
重点！
设： [ f (t)] F (s) 则： [ f (t t0 )] est0 F(s)
例13-2（1） 求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s) sin (t)

1

2
j
(e
j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j


S2

2
熟记！
例13-2 （2）
求 : f (t) K(1- e-t )的象函数
e st0 延迟因子
例13-5
求矩形脉冲的象函数
解 f (t) (t) (t T)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
f(t) 1
Tt
[ f (t t0)] est0 F(s)
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：

3s 2
2s 1 14s 10
s0
0.1
F (s) K1 K2 K3 S S2 S5
K2 0.5
K3 0.6
f (t) 0.1 0.5e2t 0.6e5t
2 若D(s) 0有共轭复根
p1 α jω
一对共轭复根为：

p2

α
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
再对式(13-8)两边对s求导一次，K12被分离，即
同样方法得 推论得D(s)＝0具有q阶重根，其余为单根时分解式为
式中：
如D(s)＝0具有多个重根时，对每个重根分别利用上 述方法即可得各系数。
象函数的一般形式：
F(s)

N(s)

a0 s m

a sm1 1

am
(n
m)
D(s)
b0 s n

b sn1 1





bn
设n m，F(s)为真分式
1 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
F (s) k1 k2 kn
jω
重点！
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e jθ K2 K e-jθ f (t) (K1e( j)t K2e( j)t ) ( K e j e( j)t K e j e( j)t )
K et [e j(t ) e j(t ) ] 2 K et cos(t )
若 [ f1( t )] F1( S ) , [ f2( t )] F2( S )
则 A1 f1( t ) A2 f2( t ) A1 f1( t ) A2 f2( t )
A1F1( S ) A2F2( S )
证：
A1 f1( t ) A2 f2( t )
f (t) Mect t [0, )
则 f (t)estdt Me (sc)tdt M
0
0
sC
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
重点！
F (S) 0 f (t )estdt
例13-1
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t) (t)
熟记！
F(s)
[ (t)]
(t)estdt
0
0 e stdt
1 est 1 s 0s
(2)单位冲激函数的象函数
熟记！
f (t) (t)
F (s)
[ (t)]
(t)estdt
小结
由F(s)求f(t) 的步骤：
1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和
)

df ( t )estdt 0 dt
estdf ( t )
0

est f (t)
est f (t )(s)dt
0
0
f (0 ) sF(s)
例13-3(1)求 : f (t) cos( t )的象函数
解 dsin(ωt) ωcos(ωt) cos(ωt) 1 dsin(ωt)
13.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函
数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变
换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。
例 熟悉的变换
1 对数变换 把乘法运算变换为加法运算
A B AB
lg A lg B lg AB
2. 拉氏变换的定义 t < 0 , f(t)=0
一个定义在【0，+∞）区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换 式定义为：
F (s)
f (t )e stdt
0

f (t)
1
c j F (s)e stds

2j c j
正变换 反变换
拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s 域内的复变函数F(s)
0
0 ( t )estdt 0
es0 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) eat
熟记！
F( s )
e e e dt at
at st 0
1 1 e(sa)t
sa
0 sa
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
重点！
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
简写
F (S)

f (t)
f (t) 1 F (S)
正变换 反变换
注 1 F (S) f (t )estdt 0 f (t )estdt f (t )estdt
(1)利用公式
f (t) 1
c
j
F
( s )e st ds
2πj c j
(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数
(3)把F(S)分解为简单项的组合
部分分式 展开法
F (s) F1(s) F2(s) Fn(s)
f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
一对共轭复根为：

p1 p2

α α
jω jω