§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
计算过 程中产 生的舍 入误差
例如用级数
sin x ? x ? 1 x3 ? 1 x5 ? 1 x7 ? ? 3! 5! 7!
的前三项计算 sinx 的近似值 , 即取
对于两个数值 x1=100±2, x2=10±1
近似值x1*=100的绝对误差限 ?*(x1*)=2是近似值 x2*=10的绝对误差限 ?*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值100
的偏差不超过 2, 而近似值10的偏差不超过 1. 哪个近似 值的精度好呢？
一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关 , 还与精确值的大小有关 . 为此我们需要引入相对误差 的概念.
? 1 ? nIn?1(n ? 1,2,? ).
n=1,2,4,6, 8,10,15
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 ( 八位有效数字 ).
利用递推公式进行计算得 :
n In 近似值 0 0.63212056
n In 近似值 6 0.12680320
n In 近似值 12 0.63289603
满足不等式 |e(x*)| = | x–x*| ? ?*的正数?*称为近
似值 x*的绝对误差限 , 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±?*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限 , 即 | V–V*| ? 2(V)
二、相对误差与相对误差限
通常将
er* ( x*) ?
e( x*) ? x*
x? x* x*
作为近似值 x*的相对误差 .
满足不等式
|
er?
(
x*)
|? |
e( x*) x*
|? |
x
? x
x *
*
|?
?
? r
的正数?r*称为近似值 x*的相对误差限 .
例如: x1=100±2的近似值 x1*=100的相对误差为
|
er? ( x1? )
sin
x
?
S5( x)
?
x
?
1 x3 3!
?
1 x5 5!
则截断误差 为：
R( x)
?
sin
x
?
S5( x)
?
?
1 x7 7!
?
1 9!
x9
?
?
由于计算机的字长有限 , 用0.166667 近似表示1/3!,
就会产生舍入误差 .
§2 误差的概念
一、绝对误差与绝对误差限
设x*为准确值 (也称为真值 ) x 的一个近似值 , 则称 x–x*为近似值 x*的绝对误差 , 简称为误差, 并记作 e(x*) = x–x*。
例如, ? =3.141592···, x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|=
0.00159···? 0.01?1/2, 即“4”所在的百分位的半个单位 0.01? 1/2 是x*的绝对误差限 , 故x*的最左边的非零位 数(个位)“3”到百分位“ 4”共有三位 , 所以x* = 3.14具 有3位有效数字 .
e( x*) ? e( x*) ? e( x*)( x * ? x)ຫໍສະໝຸດ x x*xx *?
? [e( x*)]2
? [e( x*)]2 ? x*
[x * ? e( x*)]x * 1 ? e( x*)
x*
当x*? x 时, 即e (x*)? 0 时, 上式是[e( x*)]2 x*
的同阶无穷小 , 故可忽略不计 .
有效数字位数越多 , 近似值的绝对误差和相对误 差就相对越小 , 反之亦然.
§3 误差的传播规律
设x1*, x2*分别为x1, x2的近似值, 函数值 y=f(x1, x2) 的近似值用 y*=f (x1*, x2*)表示. 利用函数f (x1, x2)在点 (x1*, x2*)处的二元泰勒展开公式 , 对y*的绝对误差和 相对误差进行分析 .
|? |
e( x1? ) x1?
|?
2 100
?
2%
而 x2=10±1的近似值 x2*=10的相对误差为
|
er? ( x2? ) |?|
e( x2? ) x2?
|?
1 10
?
10%
因此, 从相对误差来讲近似值 x1*比x2*的精度要好 .
三、有效数字及其位数
若近似值 x*某位数数值的 半个单位 是其绝对误差 限, 而从该位数字到 x*的最左边的非零数值数位止 , 共 有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字 .
第一章 误 差
引例
例1: y = arctan5430 – arctan5429 的准确值为 : 0.0000000 339219···? 0.339? 10–7
但是, 用具有八位舍入功能 的计算器直接计算得 y ? 1.5706122 – 1.5706121 = 0. 0000001 = 1? 10–7 所得计算结果的可靠性值得怀疑 . 这一结果的产
:
例3: 对于一元二次方程
x2 –(109+1)x+109= 0
有两个精确的实根: x1= 109, x2= 1. 如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式 :
x1,2 ? ? b ?
b2 ? 4ac 2a
直接进行计算则得 : x1=109, x2=0. 其中的x2=0明显失真 , 这也是由于 舍入误差造成的.
生是由于四舍五入 造成的. 例2: 计算下面积分的值 ( n = 0, 1, 2, ···):
In ? e?1 ?01 xne xdx.
积分In的值必定落在区间 [0, 1]内, 我们由被积函 数及其图形作出判断 .
由分部积分法可得 :
In ? e?1 ?01 xnde x ? e?1 xne x |10 ? e?1 ?01nx n?1e xdx
设x的近似值为 x*, 则称x*的绝对误差 e(x*)与精确 值x的比值为近似值 x*的相对误差 , 并记作er(x*),
即
er ( x*) ?
e( x*) x
?
x? x* x
同样, 由于精确值 x 经常是未知的 , 所以, 需要另
外的近似表达形式 . 我们注意如下公式的推导 ,
当 | e( x*) | 较小时, 有 x*
1 0.36787944 7 0.11237760
13 -7.2276483
2 0.26424112 8 0.10097920
14 102.18708
3 0.20727664 9 0.091187200 15 -1531.8061
4 0.17089344 10 0.088128000
:
5 0.14553280 11 0.030591000