第2章 动力响应理论2.1引言机柜结构动力响应的计算机仿真分析是以设备动力响应理论为基础的，是进行设备结构动力响应研究的一种有效手段。
论文中主要研究设备动力响应两个方面的内容：设备结构固有特性分析和结构在地震波作用下的响应分析。
固有特性分析可以得到结构的固有频率和固有振型，是进行响应分析的基础；地震波响应分析将得到设备响应的时间历程变化。
在使用有限元工具对结构进行建模、分析之前必须掌握结构动力响应的理论和相关的有限元基本原理。
因此，本章重点叙述了与设备结构动力响应相关的机械振动学理论及其有限元仿真技术。
2.2结构动力响应分析相关理论2.2.1结构固有特性分析理论机柜设备结构的固有特性包括固有频率和振型，是响应分析的基础。
通过进行结构的固有特性分析可以使设计有效地避开结构的共振频率。
机柜设备是一个复杂振动系统，在理论分析过程中，常常可以把机柜设备简化为多自由度集中参数系统。
一般，多自由度系统的自由振动方程可以写成如下形式：{}...[]()[]{()}[]{()}{0}M x t C x t K x t ++= (21)a -式中：[]M ， []C 和[]K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;()x t 、.()x t 、..()x t 分别为系统的位移列向量、速度列向量和加速度列向量。
而多自由系统的无阻尼自由振动方程可以写成如下形式:{}..[]()[]{()}{0}M x t K x t += (21)b -通常系统的自由振动是简谐振动，所以可以假设式 (21)b -的解为： {()}{}sin x t X pt = (22)- 式中：{}X 为系统的振幅列向量;p 为系统的自由振动频率。
将(22)-代入(21)b -，就可以得到系统的振型方程，其具体形式如下：2[][]{}{0}K M X p -= (23)- 可以看到，式(23)-是一个齐次线性方程组，根据线性代数知识，它具有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为零，亦即有下式成立。
2[][]0K M p -= (24)- 式 (24)-称为系统的特征方程或频率方程，他是关于2p 的n 次代数方程。
解之，我们可以得到n 个解。
具体如下：2222123n p p p p ≤≤≤≤ (25)- 若系统为正定系统，则有20(1,2,3,,)i p i n ≥= (26)-式中：i p 为系统的第i 阶固有圆频率。
将i p 分别代入系统的振型方程（2-3）中，可以解得与之对应的振幅列向量{}i X ，也称为系统的主模态或主振型。
注意：（1）系统固有频率和模态的数目与系统拥有的自由度数相同，n 自由度系统必有n 阶固有频率和模态（主振型）。
（2）系统的固有频率仅与系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，而与外界干扰力无关，它们是系统本身的固有性质。
（3）系统的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =表示系统以频率i p 作自由振动时系统的各 个自由度的振幅的相对比值。
2.2.2结构冲击响应分析理论通过系统的自由振动方程，可以解得系统得固有频率和主振型。
在冲击激励作用下，多自由度系统振动将作受迫振动。
利用激励响应理论可以解得系统受迫振动过程中系统的响应。
2.2.2.1 多自由度系统的受迫振动方程多自由度系统的受迫振动方程可以写成如下形式：...[]{()}[]{()}[]{()}{()}M x t C x t K x t f t ++= (27)- 式中：{()}f t 为系统受到的激励力向量，如果系统受到基础加速度激励则激励力向量就是该加速度系统的等效惯性力；其他符号的意义同式（2-1）。
通常情况下，系统的各个自由度之间存在耦合，方程（2-7）中的[]M 、[]C 和[]K 不是对角阵，方程难以求解。
为了得到系统的响应必须选择适当的坐标系将（2-7）式解耦。
2.2.2.2振动方程的解耦（1）正则振型与正则振型矩阵在对振动方程解耦之前先介绍系统的正则振型与正则振型矩阵的概念。
通过式（2-3）与式（2-4）已经求得系统的各阶固有频率(1,2,3,,)i p i n =和相应的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =。
令1{}{}(1,2,3,,)i i i x X i n μ== (28)- 使得{}[]{}1(1,2,3,,)T i i i M X M X i n === (29)- 式中：{}i X 为第i 阶正则振型；i μ为待定系数。
将（2-8）带入（2-9），可以得到 (1,2,3,,)i i M i n μ== (210)-将（2-10）带入（2-8）可得到各阶正则振型，进而可以写出正则振型矩阵，具体如下：~123[]{{}{}{}{}}n P X X X X = (211)- （2）振动方程解耦由于各阶主振型关于[]M 、[]K 是正交的，各阶正则振型也是关于[]M 、[]K 正交的，可以利用正则振型矩阵来对振动方程进行解耦。
选取一组广义坐标()q t 又称为主坐标，令{()}[]{()}x t P q t = (212)-将（2-12）代入（2-7）中，并且将方程两端左乘[]T P ，则可以得到解耦后的振动方程：..~.~[]{()}[]{()}[]{()}{()}I q t C q t q t f t ++Λ= (213)a - 式中，[]I 为单位阵；[]Λ伪对角阵，其对角限元素为各阶固有频率的平方；~[]C 为对角化的阻尼阵，采用比例阻尼假设，其对角线上的第i 个元素为： ~2i i c p αβ=+ (213)b - ~{()}f t 为外力对角阵，可进一步表示为：~~{()}[]{()}T f t P f t = (213)c - 式（2-13a ）是一个非齐次线性方程组，其中第i 个方程可以写成：..~2()()()()i i i i i q t c q t p q t f t ++= (214)- 式中，()i q t 为第i 个主坐标。
2.2.2.3单自由度系统对任意激励的响应式（2-14）在形式上与单自由度系统的振动方程一致，可以将上式看作单自由系统的受迫振动方程。
求解方程（2-14）即计算单自由度系统对任意激励的响应。
单自由度系统对任意激励的响应，可以看作系统对一连串单位脉冲响应的叠加。
单自由度系统对单位脉冲的响应可以用下式表述：1sin()0()00pt id id i e p t t mp h t t ξ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ (215)-式（2-15）表示的是单自由度系统对发生在t=0时刻的单位脉冲的响应，单自由度系统对发生在任意时刻t τ=的单位脉冲的响应可以写成如下形式： ()1sin(())()0i p t id id i e p t t mp h t t ξτττττ--⎧-≥⎪-=⎨⎪<⎩ (216)-则方程（2-14）所示的单自由度系统对任意激励的响应可用杜哈美积分表示为： ~0()()()t i i i q t f h t d τττ=-⎰ (217)-式（2-15）、（2-16）、（2-17）中，~2i i c p ξ=为式（2-14）表示的单自由度系统的阻尼比；21id i p p ξ=-为考虑阻尼时系统的第i 阶固有频率。
式（2-15），（2-16）称为单自由度系统的脉冲响应函数。
至此，第i 个自由度的响应己经求得。
式（2-17）表述的()i q t 为振动方程的全解，包含了瞬态解和稳态解两部分。
2.2.2.4多自由度系统任意激励的响应上节求得了第i 个自由度的响应解。
同理可以解得其他自由度的响应解，全部自由度的解可以写成向量{()}q t ，具体形式如下：~0{()}[()]{()}t q t h t f d τττ=-⎰ (218)- 式中，~{()}f t 由式~~{()}[]{()}T f t P f t =确定。
上式表示的响应为系统在主坐标下的响应。
要得到原物理坐标下的响应{()}x t 只要将式（2-18）代入式（2-13）。
具体如下：~~~0{()}[]{()}[][()][]{()}t T x t P q t P h t P f d τττ==-⎰ (219)- 也可以写成和的形式：~{()}{}()(1,2,3,,)n i i i x t X q t i n ==∑ (220)-式中，~{}iX为第i阶正则振型，可由式（2-8）确定，()iq t为杜哈美积分，可由式（2-17）确定。
2.3 结构动力响应的有限元仿真技术2.3.1有限元分析的一般步骤有限元方法是求解微分方程的一种非常有效的数值方法，其基本思想是用分片函数（单元形状函数）来逼近原函数，也就把无限自由度问题转化为有限自由度问题求解，通过求解一个线性方程组，得到原问题的近似解。
有限元方法的名称是Clough在处理平面弹性问题时，第一次提出使用的。
有两种通常与有限元方法相关的方法。
一种是力法或称作柔度法，它使用内力作为问题的基本未知量;另一种是位移法或称作刚度法，它使用节点位移为问题的基本未知量。
这两种方法在分析中得出不同的未知量（力或位移），并得出与其公式相关的不同的矩阵（柔度矩阵或刚度矩阵）。
目前绝大多数的通用有限元程序，如ANSYS，HYPERMESH，ABAQUS等，采用的都是位移法(或刚度法)。
有限元方法涉及用相互连接的、称作有限单元的小单元来模拟连续结构。
使用有限元工具进行分析计算通常有三个步骤：第一，把对象进行合理的简化建立其有限元模型；第二，按照实际的工况对模型施加约束和激励并进行必要的求解设置，然后开始求解；第三，待求解结束后，综合运用理论、经验或实验结果对计算结果进行分析、论证。
2.3.1.1有限元分析模型的建立在有限元分析过程中，从结构对象的实际模型到计算模型的简化和物理特征提取的过程称为结构对象的特征建模。
特征建模的过程也就是对结构实际模型进行简化的过程。
实际工程中的结构对象可以分为两种：一种是离散体结构，另一种是连续体结构。
杆梁结构体系是最常见的离散体结构，由于其本身存在有自然的连接关系即自然节点，一般可以直接基于这些节点进行单元划分和离散。
而连续体离散化过程需要人为地在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状。
一般情况下，连续体的有限元分析特征模型和结构对象的实际模型不是直接对应的，需要更好地进行问题的特征建模。
它需要分析人员具有相应的数学和力学基础、工程分析经验，以及对软件的熟练操作，以便做出准确合理的简化，得到既能反映实际结构对象的特征，又具有合理离散方案的有限元计算模型。
在机柜设备结构有限元分析中，一个重要的问题就是如何建立逼真的有限元模型。
近40年来实体造型理论和技术的成熟以及大批实用实体造型软件的出现，现在可以很轻松的建立分析对象的几何模型。